《数学分析》课程教学课件（讲稿）一致收敛性

§1一致收敛性 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性

一、函数列及其一致收敛性 设 f,fL,fL (1) 是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E 上的函数列.(1)也可记为 {fn}或fn,n=1,2,L. 以x1E代入1)，可得数列 f(xo),f2(xo),L f(xp),L (2) 前

前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 以 代入 (1), 可得数列

如果数列(2)收致，则称函数列(1)在点x收做，x称 为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散，则称函数 列(1)在点x发散.省函数列()在数集DIE业年一 点都收敛时，就称(1)在数集D上收敛.这时D上每 一点x都有数列{f(x)}的一个极限值与之相对应， 根据这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数 列(1)的极限函数.若将此极限函数记作∫则有 limf,(x)=f(x),xI D ®￥ 前

前页 后页 返回 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 发散. 当函数列(1)在数集 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一点 都有数列 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有

或 fn(x)®f(x)(n®￥)，xiD. 函数列极限的e-N定义：对年一固定的xID,任 俗正款e,总存在正数N(注意：一般缆耒N值与e和 x的值都有关，所以有时也用N(,x)表示三者之向 的依赖关系)，使当n>N时，总有 If(x)-f(x)e. 使函散列{∫}收做的全体收敛点集合，称为函散列 {fn}的收做域. 前预

前页 后页 返回 或 函数列极限的 定义: 对每一固定的 , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 时, 总有 使函数列 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 的收敛域

例1设f(x)=x”,n=1,2,L为定义在(-￥，￥)上的 函数列，证明它的收敛域是(1，且有极限函数 f(x)=i 0,1xK1, 1,x=1. 证任给e>0(不妨设eNe,x)时，就有 If,(x)-f(x)x"<x=e. 前过

前页 后页 返回 例1 上的 函数列, 证明它的收敛域是 , 且有极限函数 证

当x=0和x=1时，则对任何正整数n,都有 1fn(0)-f(0)上01时，有|x"®+￥(n®￥)，当x=-1时， 对应的数列为-1,1，-1,1L,显然是发数的.所以 函数列{x"}在区向(-1,1川外都是发散的.故所对纶 的函数到的收做域是(1,1]. 前

前页 后页 返回 式所表示的函数. 又 显然是发散的. 所以 函数列 在区间 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 这就证明了 在( , 1] 上收敛, 且极限就是(3)

例2定义在（￥，+￥）上的函数列f,(x)= sin nx n n=1,2,L 由于对任何实数七，都有 sin nx 故对任给的e>0,只要n>N=二，就有 s.ce. 前页

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所以函数列sin nx/n}的收敛域为(-￥，+￥)，极限 函数为f(x)=0. 注对于函数列，仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系.例如，能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列 每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论， 必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行. 前

前页 后页 返回 所以函数列 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行

定义1设函数列{f}与函数f定义在同一数集D 业，若对任给的正数，总存在某一正整数N,使岁 n>N时，对一切xiD,都有 If (x)-f(x)e 则称函数列{f}在D上一致收敛于f,记作 fn(x)f(x)(n®￥)，xiD. 由定义看到，一致收做就是对D上任何一点，函数列 超于极限函款的速度是“一致”的.这种一致性体现

前页 后页 返回 定义1 数集 上， 使当 时， 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现

为：与e相对应的N仅与e有关，而与x在D上的 取值无关，因而把这个对所有x都适用的N写作 N(e). 显然，若函散列{∫m}存D上一致收敛，则必存D上 每一点都收做.反之，在D业年一点都收做的函散列， 它在D上不一定一致收敛 例2中的函散列 是一致收敛的，因为对任意

前页 后页 返回 显然, 若函数列 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 是一致收敛的, 因为对任意