《数学分析》课程教学课件（讲稿）利用定积分求体积

§2由平行截面面积求体积 2为三维空间中一立体，它夹在垂直于x轴的两平 面x=a,x=b之间(a<b).x∈a,b],作垂直于x 轴的平面，截得2的截面面积为A(x), A(x) 前页 返回

前页 后页 返回 §2 由平行截面面积求体积 面 x = a , x = b 之间(a < b).  x a b [ , ] , 作垂直于 x  为三维空间中一立体,它夹在垂直于x 轴的两平 轴的平面,截得  的截面面积为 A(x). a b x A x( ) 返回

若Ac)在[a,b]上连续，则2的体积为 V=∫Ax)d. 证设T:a=x,<x1<.<xn=b是[a,b]的一分割， [c-,x]上A(x)的最大、最小值分别为M,m, 则第i个小薄片的体积△V,满足 m,≤△V;≤Mx, 于是 mds i=1 前页 返回

前页 后页 返回 ( )d . b a V A x x =  证 0 1 : [ , ] 设T a x x x b a b =    = n 是 的一分割, 1 [ , ] ( ) , , i i i i x x A x M m − 上 的最大、最小值分别为 若A(x) 在 [ , ] , a b 上连续 则 的体积为 Δ i 则第 i V 个小薄片的体积 满足 Δ Δ Δ , m x V M x i i i i i   于是 1 1 1 Δ Δ Δ . n n n i i i i i i i i m x V V M x = = =     = 

当T-→0时， 2M4,→广4xd,m4→广Ad 因此V=心Ax)dk. 前 后页 返回

前页 后页 返回 当 T → 0 时, 1 ( )d , n b i i a i M x A x x  =  →  1 ( )d . n b i i a i m x A x x  =  →  因此 ( )d .  = b a V A x x

如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截 面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分 来计算. A(x)表示过点 0 x且垂直于x轴 的截面面积，A(x)为x的已知连续函数 dy=A(x)dx, 立体体积V=∫Ax)dc. 前页 返回

前页 后页 返回x o a x x + dx b 如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截 面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分 来计算. A( x)表示过点 x且垂直于x 轴 的截面面积， A(x)为x 的已知连续函数 dV = A(x)dx, ( ) .  = b a 立体体积 V A x dx

例1求由两个圆柱面x2+y2=a2与z2+x2=2所 围立体的体积 ↑ 解先求出立体在第一卦限的体积V.x,∈[O,a, x=x,与立体的截面是边长为√a2-x?的正方形， 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 例1 求由两个圆柱面 2 2 2 2 2 2 x y a z x a + = + = 与 所 围立体的体积. 2 2 0 0 x x a x = − 与立体的截面是边长为 的正方形, 解 1 0 先求出立体在第一卦限的体积V x a . [0, ] ,   y x z O a a x0 a

所以A(x)=2-x2,x∈0，小.于是求得 v-s斯-8e2c-9a 前页 后页 返回

前页 后页 返回 2 2 所以 A x a x x a ( ) , [0, ]. = −  于是求得 ( ) 9 2 2 3 1 0 16 8 8 d . 3 V V a x x a = = − = 

例2一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心， 并与底面交成角a,计算这平面截圆柱体所得立 体的体积 解取坐标系如图 底圆方程为 x2+y2=R2 垂直于x轴的截面为直角三角形 截面面积(x)=R-r)tana, 立体体积=W-e)tano-Rna 前页

前页 后页 返回 例 2 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心， 并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立 体的体积. R − R x o y 解  取坐标系如图 底圆方程为 2 2 2 x + y = R 垂直于x 轴的截面为直角三角形x 截面面积 ( )tan , 2 1 ( ) 2 2 A x = R − x  立体体积 V R x dx R R ( )tan 2 1 2 2 = − − tan . 3 2 3 = R 

例3求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆 直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积： 解取坐标系如图 底圆方程为 x2+y2=R2, 垂直于x轴的截面为等腰三角形 截面面积(x)=hy=hWR-x3 立体体积=RR2-rk-)Rh 前页 返回

前页 后页 返回 例 3 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆 直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 解 取坐标系如图 底圆方程为 , 2 2 2 x + y = R x y o x R 垂直于x 轴的截面为等腰三角形 截面面积 2 2 A(x) = h y = h R − x 立体体积 V h R x dx R −R = − 2 2 . 2 1 2 = R h

旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做 旋转轴. 圆柱 圆锥 圆台 前页 返

前页 后页 返回 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 旋转体的体积

一般地，如果旋转体是由连续曲线y=∫(x)、 直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为此， y y=f(x) x∈[a,b] 在，b]上任取小区 0 衣b 间x,x+dx, 取以x为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素，dV=f(x 旋转体的体积为V=∫心fx)d 前页 返回

前页 后页 返回 一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )]  =  y = f (x)