华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 随机事件与概率 1.3 概率的性质

$1.3概率的性质Q是样本空间，F为某些子集构成的事件域，如果对任一个事件AEF，定义在F上的一个实值函数P(A满足：回顾非负性公理：P(A)≥0;@正则性公理：P(Q)=1;0可列可加性公理：若A1.A2=EP(A)互不相容，则(Q，F，P)称为概率空间网ww.nipic.comBy：半熟出瓶No:201508031654430

§1.3 概率的性质 非负性公理： P(A)0; 正则性公理： P(Ω)=1; 可列可加性公理：若A1 , A2 , ., An. 互不相容，则 Ω是样本空间， F 为某些子集构成的事件域，如果对任一个 事件A F ，定义在F上的一个实值函数P(A)满足： (Ω， F ，P)称为概率空间 回 顾

概率的性质(1) P(O) = 0.注意：逆不一定成立（举例）若A,A,",A,是两两互不相容的事件，则有P(A UA U..UA,)= P(A)+ P(A)+...+ P(A,)概率的有限可加性网www.nipic.comBy：半热出瓶No:201508031654430

(1) ( ) 0. P  = 概率的有限可加性 1 2 (2) , , , 若A A An是两两互不相容的事件，则有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). P A A A P A P A P A n n = + + + 概率的性质 注意: 逆不一定成立. （举例）

概率的性质(3)设A,B为两个事件，且 ACB,则P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)≥ P(A)单调性证明因为ACB.B所以 B=AU(B-A).A,B,若AB = 0又 (B-A)A=O,P(A U B) = P(A) + P(B)得 P(B)=P(AU(B-A)=P(A)+ P(B-A)于是P(B-A)=P(B)-P(A)又因 P(B-A)≥0故 P(B)≥ P(A)网www.nipic.comBy：半热带瓶No:201508031654430

(3) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). A B A B P B A P B P A P B P A  − = −  设 为两个事件，且 则 ； 证明 B 因为 A B  , 所以 B A B A = − ( ). 又 ( ) , B A A − =  又因 P B A ( ) 0, −  故 P B P A ( ) ( ).  于是 P B A P B P A ( ) ( ) ( ). − = − 得 P B P A B A P A P B A ( ) ( ( )) ( ) ( ) = − = + − A 单调性 概率的性质 𝐴, 𝐵, 若𝐴𝐵 = ∅， 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)

概率的性质(2)若A,A，…,A,是两两互不相容的事件，则有P(A, UA, U...UA,) = P(A,)+ P(A,)+ ...+ P(A.)(4)(逆事件的概率）对于任一事件A，有P(A)=1-P(A)AQ网ww.nipic.comBy：半熟出瓶No:201508031654430

Ω A 𝐴ሜ （4） (逆事件的概率) 对于任一事件 A，有 P(A) = 1− P(A) 1 2 (2) , , , 若A A An是两两互不相容的事件，则有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). P A A A P A P A P A n n = + + + 概率的性质

两个事件A,B,若AB=ΦP(A U B) = P(A) + P(B)对于任意的两个事件A,B3P(A U B)P(A) + P(B)5P(A U B) =广网www.nipic.comBy：半热出瓶No:201508031654430

对于任意的两个事件𝐴, 𝐵 两个事件𝐴, 𝐵, 若𝐴𝐵 = ∅， 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ？= 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =

(5）（加法公式）重要公式！对于任意的两个事件A,BP(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB).ABB由图可得证明：AAUB = A + (B -AB),且 AN(B-AB)=O,故 P(AUB)=P(A)+P(B- AB)(3)设A,B为两个事件，且 ACB,则又由性质3得P(B P(B)=PIBP(B)AP)(A); P(B) ≥ P(A).因此得P(AUB) = P(A)+ P(B)- P(AB),网www.nipic.comBy：半热带瓶No:201508031654430

证明: 由图可得 𝐴 ∪ 𝐵 = 且 A B AB ( ) , − =  故 P A B P A P B AB ( ) ( ) ( ). = + − 又由性质 3 得 因此得 P B AB P B P AB ( ) ( ) ( ), − = − P A B P A P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ). = + − 重要公式！ 𝐴 + (𝐵 − 𝐴𝐵), (3) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). A B A B P B A P B P A P B P A  − = −  设 为两个事件，且 则 ； (5) (加法公式) 对于任意的两个事件𝐴, 𝐵 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵). S A 𝐴𝐵 B

（5）（加法公式）对于任意的两个事件A,BP(AU B) = P(A) + P(B)- P(AB范围至少有一个事件发生的概率公式两个事件的加法公式网www.nipic.comBy：半热出瓶No:201508031654430

(5) (加法公式) 对于任意的两个事件𝐴, 𝐵 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵). 范围 至少有一个事件发生的概率公式 两个事件的加法公式

推广三个事件和的情况P(A, UA, UA)= P(A)+ P(A)+ P(A,)-P(A,A2)- P(A,A,)-P(A,A,)+P(A,A,A,).n个事件和的公式P(A,UA, U..UA,) =-ZP(A,) - Z P(AA,)1Si<jSni+NP(A,A,A) +... +(-1)"-I P(A,A, ...A,).1≤i<j<k≤n网www.nipic.comBy：半热出瓶No:201508031654430

推广 三个事件和的情况 1 2 3 P A A A ( ) 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). P A P A P A P A A P A A P A A P A A A = + + − − − + n 个事件和的公式 1 2 ( ) P A A An 1 ( ) n i i P A = =  1 ( ) i j k i j k n P A A A     +  1 ( ) i j i j n P A A    −  + 1 1 2 ( 1) ( ). n P A A An − + −

例1将一枚硬币抛掷三次。（1）设事件A为“恰有一次出现正面”，求P（A）；(2）设事件B为“至少有一次出现正面”，求P(B)。网ww.nipic.comBy：半热出瓶No:201508031654430

例1 将一枚硬币抛掷三次。 （1）设事件A为“恰有一次出现正面”，求P(A); （2）设事件B为“至少有一次出现正面”，求P(B)

例1.3.1AB=Φ P(A)=0.6 ,P(AUB)=0.8 求 B 的对立事件的概率解 : 由 P(AUB) = P(A) + P(B)-P(AB) = P(A)+P(B)得 P(B) = P(AUB)-P(A) = 0.8-0.6 = 0.2 所以P(B)= 1-0.2=0.8网ww.nipic.comBy：半熟出瓶No:201508031654430

AB=Φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8， 求 B 的对立事件的概率。 解：由 P(AB) = P(A) + P(B)−P(AB) = P(A)+P(B) 例1.3.1 得 P(B) = P(AB)−P(A) = 0.8−0.6 = 0.2， 所以 P( ) = 1−0.2 = 0.8