《数学分析》课程教学课件（讲稿）函数的凹凸性与拐点

§5函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数y=x2与y=Vx的图象来看 凸性的不同： y=x(y=Vx)上任取两点A,B,弦AB恒在曲线 段MB的上方（下方）

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定义1设f为区间I上的函数.若对于I上的任意 两点x1,x2和任意实数11(0,1)，总有 f(1x1+(1-1)x2)￡If(x)+(1-1)f(x2),(1) 则称f为I上的一个凸函数.反之如果总有 flx1+(1-1)x2)31fx)+(1-1)fx2),(2) 则称f为I上的一个凹函数： 如()和(2)式中的不等号改为严格不等号，则相应 的函数称为严格凸函数和严格凹函数

前页 后页 返回 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应 定义1 设 f 为区间 I上的函数．若对于 I 上的任意 则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有 则称 f 为 I 上的一个凹函数. 的函数称为严格凸函数和严格凹函数

由此可得y=x2在（￥+￥）上为严格的凸函数 y=Vx为0，+￥)上的严格凹函数. 很明显，若fx)为（严格）的凸函数，那么-f(x)就 为（严格）凹函数，反之亦然 引理fx)为区间上的凸函数的充要条件是： 对于I中的任意二点x1<x2<x3,有 ())( (3) x2-X1 x3-x2 前页

前页 后页 返回 很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就 引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是： 为(严格) 凹函数，反之亦然

证（必要性）设1=七：，于是 X3-X1 x2=1x1+(1-1)x3: 因为f(x)为I上的凸函数，所以 f(x2)=f(lx1+(1-I)x3) ￡1f(x)+(1-1)f(x) =,f)+fx,) X3-xI x3-X1 从而有 (x3-x)f(x2)￡(x3-x2)f(x)+(x2-x1)f(K3), 前

前页 后页 返回 从而有 因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以 证（必要性） 于是

即(x3-x2)f(x2)+(c2-x1)f(x2) ￡(x3-x2)f(x)+(x2-x1)f(x3), 整理后即为3)式。 (充分性)对于任意x,<x3,11(0,1).设 x2=1x1+(1-1)x3, 则 f(x)(x):()f() X2-X1 X3-x2 由于必要性的证明是可逆的，从而得到 前页

前页 后页 返回 整理后即为 (3) 式. 即 由于必要性的证明是可逆的，从而得到 （充分性）对于任意 则

f(lx1+(1-1)x3)￡1f(x)+(1-1)f(x3), 所以f为I上的凸函数 同理可证f为I上的凸函数的充要条件是：对于 I中的任意三点x1<x2<x3,有 fs,)fxεfs)-f)Efx)-f).(4④ X2-X1 X3-1 x3-X2 注（④）式与()式是等价的.所以有些课本将(4)式 作为凸函数的定义.（参见下图)

前页 后页 返回 所以 f 为 I 上的凸函数. 同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于 注 (4) 式与 (1) 式是等价的. 所以有些课本将 (4) 式 作为凸函数的定义. ( 参见下图 )

fx fx) f(x) 詹森(Jensen,J.L.1859-1925,丹麦) 前页

前页 后页 返回 詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦 )

对于凹函数，请读者自行写出相应的定理 由数学归纳法不难证明：f为I上的凸函数充要 条件是：任给x1,Lxn1I,0<1<1,i=1,2,0n, 11+12+L+1n=1,必有 f(I+L+1x)1f(x)+L+1nf(x). 这是著名的詹森不等式.特别取1，=，则 )+f()+L 01n 前页

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即： f (5) i-1 0 n i-1 (⑤)式是凸函数最常用的不等式」 下面举例说明凸函数的内在性质： 例1设f为开区间(a,b)上的凸函数，那么它在 (a,b)中每一点的左、右导数存在.特别是在(a,b) 上处处连续 证对于任意的x1(a,b)0<h<h,使 前页

前页 后页 返回 (5) 式是凸函数最常用的不等式 . 即： 例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在 下面举例说明凸函数的内在性质. 证 上处处连续. (a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b)

xo<xo+h<xo+h<b, 由引理得到 fx。+)fx)￡f(+)-fx) h h 令F=f+fx）,则r在0，b.) h 上递增.取x(a,b),xe<xo,由引理又得 f)-fx9￡fx+m-f）,hi0,b-x) xo-xe h

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