《数学分析》课程教学课件（讲稿）收敛定理的证明

§3收敛定理的证明 本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理，为此 先证明两个预备定理， 预备定理1（贝塞尔(Bessel)不等式）若函数f在 π，可积，则 cd. (1) 其中an,b,为f的傅里叶系数.()式称为贝塞尔不等 式 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §3 收敛定理的证明 本节来证明非常重要的傅里叶级数收敛定理,为此 先证明两个预备定理. 预备定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在 [ , ] −  可积, 则  − = + +    2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) ( )d . (1) 2 π n n n a a b f x x 其中 a b n n , 为 f 的傅里叶系数. (1)式称为贝塞尔不等 式

证令 S(a.cosbsin) m 2 考察积分 If(x)-S()Tdx =∫f(x)dc-2fx)sne)de+∫Sac)dc.(2) 由于 fes.xdr=2∫fde 前页 后页 返回

前页 后页 返回 证 令 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 m m n n n a S x a nx b nx = = + +  考察积分 − −  π 2 π [ ( ) ( )] d m f x S x x π π π 2 2 π π π ( )d 2 ( ) ( )d ( )d . (2) m m f x x f x S x x S x x − − − = − +    π π 0 π π ( ) ( )d ( )d 2 m a f x S x x f x x − − =   由于

o(x)cosmedx+b.()sinmxdx) 根据傅里叶系数公式（§1(10）)可得 ()5.(e-) (3) 对于S(x)的积分.应用三角函数的正交性，有 ∫S%(x)d 受+2a成+6n dx 前页 后页 返回

前页 后页 返回 π π π π 1 ( ( )cos d ( )sin d ), m n n n a f x nx x b f x nx x − − = + +    根据傅里叶系数公式(§1(10))可得 − =  = + +  π 2 2 2 0 π 1 π ( ) ( )d π ( ). (3) 2 m m n n n f x S x x a a b 对于 2 ( ) S x m 的积分.应用三角函数的正交性, 有 − π 2 π S x x m ( )d − =   = + +       2 π 0 π 1 ( cos sin ) d 2 m n n n a a nx b nx x

ds inmte +r2(+) 21 (4) n=1 将3)，(4)代入(2)，可得 0≤」[f()-Sne'de -w-5-立d酸 m n=] 因而 前页 后页 返回

前页 后页 返回 − − − =     = + +             2 2 π π π 0 2 2 2 2 π π π 1 d cos d sin d 2 m n n n a x a nx x b nx x 2 0 2 2 1 π π ( ). (4) 2 m n n n a a b = = + +  将(3), (4)代入(2)，可得 −  −  π 2 π 0 [ ( ) ( )] d m f x S x x − = = − − +   2 π 2 2 2 0 π 1 π ( )d π ( ). 2 m n n n a f x x a b 因而

ie的1 -fI/OFdw. 它对任何正整数m成立而∫【f)c为有限值， 所以正项级数 n=1 的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式(1)成立. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 − = + +    2 π 0 2 2 2 π 1 1 ( ) [ ( )] d , 2 π m n n n a a b f x x 它对任何正整数m成立. 而 − π 2 π 1 [ ( )] d π f x x 为有限值, 所以正项级数 2 0 2 2 1 ( ) 2 n n n a a b  = + +  的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立

推论1若为可积函数，则 Iim」2fx)cod=0, (5) lim ["f(x)sinnxdx=0, 因为(1)的左边级数收敛，所以当→o∞.时，通项 +b→0，亦即有4n→0与bn→0，这就是（⑤）式， 这个推论称为黎曼-勒贝格定理. 推论2若f为可积函数，则 前页 后页 返回

前页 后页 返回 推论1 若f为可积函数, 则 π π π -π lim ( )cos d 0, (5) lim ( )sin d 0, n n f x nx x f x nx x → − →  =   =     因为(1)的左边级数收敛, 所以当 n →  .时, 通项 2 2 0 n n a b + → 0 n a → 0 n , 亦即有 与 b → , 这就是(5)式, 这个推论称为黎曼-勒贝格定理. 推论2 若 f 为可积函数, 则

im()sind0. (6) sio-0 证由于 sia+》e小=osin+inco 2 所以 fewnau 前页 后页 返回

前页 后页 返回 → → −    + =          + =         π 0 π π 1 lim ( )sin d 0, 2 (6) 1 lim ( )sin d 0, 2 n n f x n x x f x n x x 1 sin cos sin sin cos , 2 2 2 x x n x nx nx   + = +       +      π 0 1 ( )sin d 2 f x n x x 证 由于 所以

innde )sincts =F(x)sinnxdx+F(x)cosnxdx, (7) 其中 F()= es50sxs元 0 ,-π≤X<0, F5(e)=fw)sini0≤xs元 0 ,-π≤x<0, 前页 返回

前页 后页 返回     = +           π π 0 0 ( )cos sin d ( )sin cos d 2 2 x x f x nx x f x nx x π π 1 2 π 0 F x nx x F x nx x ( )sin d ( )cos d , (7) − = +       =    −   1 ( )cos ,0 π, ( ) 2 0, , π 0, x f x x F x x     =    −   2 ( )sin ,0 π, ( ) 2 0, , π 0, x f x x F x x 其中

显见F与F,和f一样在-π，上可积.由推论1，（门） 式右端两项积分的极限在n→o时都等于零.所以 左边的极限为零. 同样可以证明 mfna+》d-0 预备定理2若f是以2π为周期的函数，且在【-π，π] 上可积，则它的傅里叶级数部分和S(x)可写成 前页 返回

前页 后页 返回 式右端两项积分的极限在 n →  时都等于零. 所以 左边的极限为零. 同样可以证明 → −   + =      0 π 1 lim ( )sin d 0. n 2 f x n x x 预备定理2 若 f 是以2π为周期的函数, 且在 [ , ] −  上可积, 则它的傅里叶级数部分和 ( ) S x n 可写成 显见 与 和 f 一样在 上可积.由推论1,(7) F1 F2 [ , ] − 

sinn+ 5.)+ 2 dt, (8) 2si02 当t=0时，被积函数中的不定式由极限 sin 2 lim =n+ t→0 2sin 2 2 来确定. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 −     +   +  π π 1 sin 1 2 ( )= ( ) d , (8) π 2sin 2 n n t S x f x t t t 当 t = 0时, 被积函数中的不定式由极限 →     +   = + 0 1 sin 2 1 lim 2 2sin 2 t n t n t 来确定