《数学分析》课程教学课件（讲稿）正项级数

§2正项级数 收敛性是级数研究中最基本的问题，本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则 一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法 *四、拉贝判别法 前页 ,回

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一、正项级数收敛性的一般判别原则 1.定义：（①）如果级数：w,中各项均有w,30 n=1 这种级数称为正项级数， 负项级数 可以转化 (2)如果级数8u,中各项均有un￡0 为正项级 n=1 数来研究 这种级数称为负项级数 (3)正项级数与负项级数，统称为同号级数 当以，￡0时，aun=a(4,),a(4n为正项级数

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2.基本定理： 设8wn私，u2L+4nL (1) n=1 为正项级数，4n30,(n=1,2,L)于是，其部分和 Sn=u t+un tunti Sn tun 3 Sn 部分和数列{sn为单调增加数列， 结合数列极限的单调有界定理，有基本定理：

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定理12.5正项级数8wn收做的克要条件是：都分和 数列{Sn}有界，即存在某正散M,对一切正整数n有 S,0(i=1,2,L),所以{S,}是递增数列.而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界 定理).这就证明了定理的结论. 前页

前页 后页 返回 证 所以{Sn }是递增数列.而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界 定理).这就证明了定理的结论. 定理12.5 收敛的充要条件是:部分和 有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有

注：(1)叙述基本定理的逆否命题 (2)正项级数敛散性的所有的判别法， 归根到底，都是根据这条简单的定理 B1:证明：iY n=1 n! 1 2分) 于是，部分和 112=2-,￡2 2k-1 k=1 1-1/2 {sn有上界，、a 1<半 n-1n! 前页

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￥ E2:正项级数： 1=1+++L+1+ nl np 2P 3P 称为p-级数（广义调和级数），讨论其敛散性. 解：1°.当p=1时，p-级数正好是调和级数 合1-￥，其部分和811++！+L+1无上界 n=1 n 23n 2心当p ,(n=1,2,L) 2 其部分和，1+宁+L+>1+L+无让界 =￥」 前页

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3°.当p>时，由不等式： Ex:由中值定 理证此不等式 11e1 16 p-18(n-1 (n32) +L+1 1 于是，部分和sn=1+ +背0T起 2-。p-1823 1e1 1ǒ p-18(n-1)p-nvr5It 11 p-I p-Ini <1+1-p p1有上界 < p-1 n' 前页

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3(法2)当p>时，由图可知0 dx 3 1+1 3L+1 y 2 E1+0 2dk n dx ,(p>) =1+8 dx n =1+ 1 16 p-1 1 n=1 np ￥，当p￡1 前页

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3.比较审敛法 仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收 敛性判别法则。 前页

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定理12.6（比较原）设8wn和ayn是两个正项 级数，如果存在某正数N,对一切n>N都有 un￡ym (1) 则 (①)若级数？yn收敛，则级数a4,也收敛； ()若级数8w,发散，则级数8v,也发散， 证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 散性，因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立

前页 后页 返回 定理12.6 (比较原则) 级数, 如果存在某正数N, 对一切 n > N 都有 则 证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 散性,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立