《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分的物理应用

§5定积分在物理中的应用 定积分在物理中有着极其广泛的应用.在物理问 题中，常遇到的物理量具有连续性与可加性.要求 出某物理量F,重要的是找到dF=f(x)dx,然后 应用微元法化为计算F=0f(x)dc. 一、液体静压力 二、引力 三、功与功率 前页 巡回

前页 后页 返回 §5 定积分在物理中的应用 定积分在物理中有着极其广泛的应用.在物理问 一、液体静压力 应用微元法化为计算 题中, 常遇到的物理量具有连续性与可加性. 要求 三、功与功率 二、引力 返回 出某物理量 , 重要的是找到 然后

一、液体静压力 例1如图所示为管道 的圆形闸门（半径为3 米).问水平面齐及直 y 径时，闸门所受到的水 DA 的静压力为多大（设水 的比重为n)? 解取圆心为原点，建立坐标系如图。此时圆的方

前页 后页 返回 例1 如图所示为管道 一、液体静压力 解 取圆心为原点, 建立坐标系如图. 此时圆的方 的静压力为多大(设水 径时,闸门所受到的水 米). 问水平面齐及直 的圆形闸门(半径为 3 的比重为 )？

程为 x2+y2=9. 由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的 比重与深度的乘积，故当Ax很小时，从深度x到x +△x的狭条AA上所受的静压力为 △P》dP=2xV9-x2dx 而总静压力为各狭条所受的静压力之和，因此 P=2w9-xdx=18v. 前

前页 后页 返回 由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水的 而总静压力为各狭条所受的静压力之和, 因此 程为 比重与深度的乘积, 故当 很小时, 从深度 x 到 x 的狭条 上所受的静压力为

二、引力 例2一根长为1的均匀细 杆，质量为M,在其中垂线 a 上相距细杆为a处有一质 dF -df 量为m的质点，试求细杆对 02 0 x112X xidx 质点的万有引力. 解建立直角坐标系如图所示.细杆位于x轴上的 [/2,/2],质点位于y轴上点a.任取

前页 后页 返回 二、引 力 例2 一根长为 l 的均匀细 解 建立直角坐标系如图所示. 细杆位于 x 轴上的 质点位于 y 轴上点 a . 任取 质点的万有引力. 量为 m 的质点,试求细杆对 上相距细杆为 a 处有一质 杆, 质量为 M, 在其中垂线

Ix,x+△x1i[l/2,2 侧其质量微元为 dM-Mdx. 它对质点m的引力为 dF= kmdM km M 2 a2+x21 由于细杆上各点对质点m的引力方向不同，因此不 能直接对dF积分，为此将dF分解到x轴和y轴 前

前页 后页 返回 则其质量微元为 它对质点 m 的引力为 由于细杆上各点对质点m的引力方向不同,因此不 能直接对 dF 积分,为此将 dF 分解到 x 轴和 y 轴

两个方向上，得 dF.=dFsing,dF =dFcosq. 由cosq、a2+ a :得垂直方向总合力为 ￡d-2严 2kmMa 1 x 2 2km M a4a2+12

前页 后页 返回 两个方向上, 得 得垂直方向总合力为

负号表示合力与y轴方向相反， 是，1ù 82'28 上的奇函数， kmMa a ex_ 0 6.ò，g ÷dx=0. 2 例3设一半径为r的圆弧形导线，均匀带电，电荷 密度为d,在圆心正上方距圆弧所在平面为处有 一电荷为q的点电荷.试求圆弧形导线与点电荷之

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间的作用力 解把点电荷置于原点，z轴垂直向下，圆弧形导线 置于水平面z=4上.根据库仑定律，电量为4，92 的两个点电荷之间 的作用力为 F=k94 前页

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其中：为两点电荷之间的距离，k是库仑常数 把中心角为d山j的一小段导线弧看作一点电荷，其 电量为 do=dds=drdj. 它对点电荷q的作用力为 dF= kqdo r2 a2+r2 把dF分解为z轴方向的分力dF,和水平方向的分 力dF.由于点电荷位于圆弧形导线的对称轴Oz上， 前

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且导线上的电荷密度恒为常数，因此水平方向分 力dE,互相抵消.而 dF.dF cosg kdrag(a2 +r2)3Pdj 于是垂直方向的总合力为 F.-o dr. 2p kd rag (a2+r2)32 这就是圆弧形导线与点电荷之间作用力的大小

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