《数学分析》课程教学课件（讲稿）可积条件

§3可积条件 判别一个函数f(x)在[a,b]上是否可积，就是判别 极限m∑f(5)4x,是否存在.在实际应用中， T→0 i1 直接按定义来判定是困难的.我们希望由函数本身 的性质（例如函数的有界性、连续性等)来判别 函数的可积性.为此，先给出可积准则，并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件，连续性是 可积的充分条件而非必要条件 前页 后页 返回

前页 后页 返回 判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别 §3 可积条件 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别 → = 0 1 lim ( ) n i i T i 极限 f x   是否存在. 在实际应用中， 直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是 可积的充分条件而非必要条件. 返回

定理9.1（可积必有界) 若函数f在Ia,b]上可积，则f在[a,b]上必有界. 证设 ∫fx)dx=J. 由定义，对8=1>0,36>0，只要T<6,无论T 与5∈[x-1,」(i=1,2,)如何选取，都有 2店-外1. 于是 前页 页 返回

前页 后页 返回 定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [a,b] 上可积，则 f 在 [a,b] 上必有界. 证 设 f (x)dx J. b a =  由定义, 对    =     1 0 0 , , T , T 只要 无论 1 Δ 1 n i i i f ( ) x J ,  =  −  于是 1 [ , ] ( 1,2, , ) , i i i 与 如何选取 都有   = x x i n −

2gssU41: 倘若fx)在[a,b小上无界，则必有k,使得f(x)在 [比I,xJ上无界.令 i≠ 故必存在5∈[x1,x],满足 1f5)小 M+G 前顶 后顶 返回

前页 后页 返回 −1 [ , ] . k k x x 上无界 令 ( )Δ , i i i k G f x   =  故必存在 满足  k k k   x x −1 , , 1 Δ 1 n i i i f ( ) x J M .  =   + = ( ) . k k M G f x   +  倘若 在 上无界， f x a b ( ) [ , ] 则必有 k ,使得 在 f x( )

于是 空5 ≥/5A-∑f65A i≠k >M+GAx-G-M, △Xk 矛盾 以下例子告诉我们，有界性并不是可积的充分条件. 前页 返回

前页 后页 返回 于是 1 ( )Δ n i i i f x  =  矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件. ( ) k k i i Δ ( )Δ i k f x f x     −  Δ , k k M G x G M  x +  − =

例1试用反证法证明：狄利克雷函数D(x)在任何 区间[a,b]上不可积. 证若D)在[a,b上可积，则3J∈R,36>0, 当T<6时，对任何5：∈x,x,有 2w-J号 现任取5∈Q∩x-1,x,i=1,2,.,n,则 言M5-2= 前顶

前页 后页 返回 i i i Q [ , ], 1,2, , , 1 现任取   = x x i n − 则 1 1 ( )Δ Δ 1. n n i i i i i D x x  = =  = = 证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则     J R, 0,  1 1 ( )Δ . 2 n i i i D x J  =  −  例1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D x( )在任何 区间 上不可积 [ , ] a b . 当 时 T   ,  −1 [ , ], i i i 对任何 有  x x

又任取7∈比1，小Q,i=1,2,n,则 p(m )s0. 于是 D5)-立Dn,)A-L,而这与 1 D()Aw,D(n,)A, 1 ≤2Dw+2m心-J3 相矛盾，所以D(x)在[a,b]上不可积. 前顶 返回

前页 后页 返回 于是 1 1 ( )Δ ( )Δ 1 , n n i i i i i i D x D x   = =  − = 而这与 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i D x D x   = =  − 1 1 1 1 ( )Δ ( )Δ 1 2 2 n n i i i i i i D x J D x J   = =  − + −  + =   1 [ , ]\ Q, 1,2, , , i i i 又任取  = x x i n − 则 1 ( )Δ 0. n i i i D x  =  = 相矛盾, 所以 D x( ) . 在 上不可积 [ , ] a b

定义2设f在[a,b]上有界，对任意分割 T:M=xo<X1<.<xn=b, 称S(T)=∑M,△，为∫关于分割T的上和，其中 i=1 M,=sup{f(x)川x∈[K-1,x,],i=1,2,.n 称s(T)=∑m,Ax,为f关于分割T的下和，其中 m =inf (f(x)xex,x,i=1,2,.n; 称o,=M,-m,(i=1,2,.n)为f在[x1,x上的 振幅。 前页

前页 后页 返回 : . , 0 1 T a x x x b =    n = 称 为 f 关于分割 T 的上和,其中 1 ( ) Δ n i i i S T M x = =  M f x x x x i n i i i =  = sup ( ) | [ , ] , 1, 2, ;  −1  称 为 f 关于分割 T 的下和,其中 1 ( ) Δ n i i i s T m x = =  m f x x x x i n i i i =  = inf ( ) | [ , ] , 1, 2, ;  −1  定义2 设 在 上有界 f a b [ , ] , 对任意分割 1 ( 1, 2, ) [ , ] i i i i i M m i n f x x 称 = − = 为 在 − 上的 振幅

振幅反映了函数在区间内的变化范围，是一个与连 续性相关联的概念. 定理9.3（可积准则)函数在a,b上可积的充要 条件是：V8>0,3分割T,使 ST)-T)=M,-m)y,-2@,x,<6. 此定理将在本章第六节定理9.15中证明.在用它 证明可积性问题时，有多种方法可使∑o,△x,<6, i=1 前门 返回

前页 后页 返回 定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要 条件是：     0, , 分割T 使 1 1 ( ) ( ) ( )Δ Δ . n n i i i i i i i S T s T M m x x   = = − = − =    此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连 续性相关联的概念. . 1 =   n i i xi 证明可积性问题时,有多种方法可使  

常见的有三种方法，下面分别作出介绍 6。,从而 第一种方法：每个@，<b- 含产= 例如，在[@，b]上一致连续的f,便属于这种情形 定理9.4（连续必可积) 若f在[a,b上连续，则∫在[a,b小上可积. 证f在[a,b]上连续，从而在[a,b小上一致连续.于 前页

前页 后页 返回 1 1 Δ Δ . n n i i i i i x x b a    = =  = −   常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 每个 b a i −   第一种方法:  ，从而 例如 在 上一致连续的 ,便属于这种情形 , [ , ] . a b f 定理9.4（连续必可积） 若 f a b 在 上 [ , ] 连续，则 f a b 在 上 [ , ] 可积. 证 f a b 在 上 [ , ] 连续,从而 在 上 [ , ] a b 一致连续.于

是e>0,36>0,x',x"∈[a,b],若x'-x"<6,则 )-水62a 因此当[a,b]上的分割T满足T<δ时， 0:=M;-m =sup{f(x)-f(x"),x',x"Ex1,xl} b-a 从而gA战兰立A= 前顶 返回

前页 后页 返回 f x f x ( ) ( ) . b a    −  − i = Mi − mi 1 sup{ ( ) ( ) , [ , ] } i i f x f x x x x x ， − = −      , b − a   从而 1 1 Δ Δ . n n i i i i i x x b a    = =  = −   因此当 [ , ] a b T T 上的分割 满足 时,   是        0, 0, , [ , ], x x a b   若 则 x x   −  