华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布

第1页第二章随机变量及其分布$2.1随机变量及其分布(1)掷一颗殷子，出现的点数 X12......6(2）n个产品中的不合格品个数YO,1,2.......,n某商场一天内来的顾客数Z(3)0.1,2.....(4）某种型号电视机的寿命T：[0, +o]4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第1页 §2.1 随机变量及其分布 (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，.，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，.，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，. (4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +)

第2页第二章随机变量及其分布2.1.1随机变量的定义定义2.1.1设Q=の！为某随机现象的样本空间称定义在Q上的实值函数X=X(の)为随机变量4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第2页 2.1.1 随机变量的定义 定义2.1.1 设  ={}为某随机现象的样本空间， 称定义在上的实值函数X=X()为随机变量

第3页第二章随机变量及其分布注意点 (1)随机变量X(の)是样本点の的函数1）其定义域为，其值域为R=(-80，+)若X表示掷一颗殷子出现的点数则（X=1.5是不可能事件(2）若X为随机变量，则(X=k)、(a<X≤b)、均为随机事件即 (a<X≤b)=[ ; a<X()≤b)c4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第3页 注 意 点 (1) (1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(−，+) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件. (2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X  b} 、. 均为随机事件. 即 {a < X  b} ={；a < X() b } 

第4页第二章随机变量及其分布注意点(2)注意以下一些表达式：(3)(X=k)=(X≤)-(Xb) =Q-(X≤b)同一样本空间可以定义不同的随机变量(4)4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第4页 注 意 点 (2) (3) 注意以下一些表达式： {X = k}= {X  k}−{X b} =  −{X  b}. (4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量

第5页第二章随机变量及其分布两类随机变量若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量若随机变量X的可能取值充满某个区间[a,b]，则称X为连续随机变量前例中的XY.Z为离散随机变量：而T为连续随机变量4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第5页 ➢ 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量. ➢ 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b]，则称 X 为连续随机变量. ➢ 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量； 而 T 为连续随机变量. 两类随机变量

第6页第二章随机变量及其分布分布函数的概念对于随机变量X，我们不仅要知道X取哪些值要知道X取这些值的概率：而且更重要的是想知道X在任意有限区间（a,b）内取值的概率例如求随机变量X落在区间(xi，x内的概率Px <X≤x-P(X≤x,HPX≤xF(x,)F(x)分布函数P(x, <X≤x)= F(x)-F(x)4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第6页 对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. { } P x1  X  x2 { } { } = P X  x2 − P X  x1 ( ) F x2 ( ) F x1 { } P x1  X  x2 分布 函数 ( ) ( ). = F x2 − F x1  ? 分布函数的概念 例如 ( , ] . 求随机变量 X 落在区间 x1 x2 内的概率

第7页第二章随机变量及其分布2.1.2随机变量的分布函数定义2.1.2设X为一个随机变量，对任意实数x称 F(x)-P(X≤x)为 X的分布函数说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况(2)分布函数 F(x)是x的一个普通实函数4 April 2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第7页 定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数. 2.1.2 随机变量的分布函数 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. (2)分布函数 F(x) 是 x 的一个普通实函数

第8页第二章随机变量及其分布二、分布函数的性质值域定义域，(1) 0 ≤ F(x)≤1, x E(-00,0);(2) F(x)≤F(x,), (x, +00lim F(x)= F(x.), (-o0 <x <0).右连续4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第8页 (1) 0  F(x)  1, x  (−,); (2) ( ) ( ), ( ); F x1  F x2 x1  x2 二、分布函数的性质 (3) (−) = lim ( ) = 0, →− F F x x ( ) lim ( ) 1; x F F x →+ + = = (4) lim ( ) ( ), ( ). 0 0 0 = −    → + F x F x x x x 右连续 定义域，值域 单调不减函数 极限

第9页第二章随机变量及其分布2.1.3离散随机变量的分布列设离散随机变量X的可能取值为：X.X2........Xn称 p,=P(X-x), i=1, 2, ......为X的分布列分布列也可用表格形式表示：XX1PpiP4April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第9页 2.1.3 离散随机变量的分布列 ➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，.，xn，. 称 pi =P(X=xi )， i =1, 2, . 为 X 的分布列. ➢ 分布列也可用表格形式表示： X x1 x2 . xn . P p1 p2 . pn

第二章第10页随机变量及其分布分布列的基本性质(非负性)p,≥0,1Zp,=1. (正则性)24April2025

第二章 随机变量及其分布 4 April 2025 第10页 分布列的基本性质 (1) pi 0， (2) 1. i i  p = (正则性) (非负性)