《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章课件_第五章第三节课件

5.3直线及其方程一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线7P,: Ax+By+Cz+D, = 0P 2 : A,x+B,y+C2z+ D, = 0Pi Ax+By+Cz+D = 011i A,x+B,J+C,z+ D, = 00空间直线的一般方程

5.3直线及其方程 定义 空间直线可看成两平面的交线． 空间直线的一般方程 一、空间直线的一般方程

空间直线的对称式方程与参数方程二、方向向量的定义：如果一非零向量平行于71一条已知直线，这个向量称XMxM.为这条直线的方向向量0yM,(xo, Jo,zo),M(x,y,z),X" MI L,M,Mll ss =(m, n, p),M,M={x- Xo,y- yo,z- zo?

方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． // 二、空间直线的对称式方程与参数方程

x- xo -y- yoZ-Z0直线的对称式方程mnpx- Xo0 - z- 30 = ty- Jomnp直线的一组方向数ix=x,+mtiy=yo +nt方向向量的余弦称为直线的方向余弦I z = zo + pt直线的参数方程

直线的对称式方程 令 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦. 直线的参数方程

例1求经过 M (Xi, J1,可), M, (X2, J2,2)两点的直线方程解因为直线过 M,M，两点因此可取M,M，作为直线的方向向量s = M,M, =(x2 - Xi,y2 - 1,z2 - zf}由点向式即得所求直线的方程为x- Xi - y-yi - z- ziX2 - Xi y2- Ji72 - 71直线的两点式方程

例1 求经过 两点的直线方程 解 因为直线过 两点 因此可取 作为直线的方向向量 由点向式即得所求直线的方程为 ——直线的两点式方程

例2用对称式方程及参数方程表示直线ix+v+z+1=0i2x - +3z+4=0解一用点向式在直线上任取一点（xo，yo，zo）i yo +zo +2 = 0取 x=1 iyo - 3zo - 6= 0解得 yo=0， zo=-2点坐标(1,0,-2)

例2 用对称式方程及参数方程表示直线 解一 用点向式 在直线上任取一点 取 解得 点坐标

因所求直线与两平面的法向量都垂直取 $=nj nz= {4,- 1,-3),0z+2x- 1_y- 0对称式方程4-3-1i x =1+4t参数方程iy=-t11 z = - 2 - 3t解二用两点式已求出一点(1,0,-2)再求出一点

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 解二 用两点式 已求出一点 再求出一点

x+z=0令=-1得2x+3z=-5解得x= 5,z =- 5点坐标(5,-1,-5),z + 2y- 0x- 1所求直线方程为4- 3- 1ix =1+4t参数方程iy=-t1z = -2 - 3tix+y+z+1=0解三由i2x-y+3z+4=0

令 得 解得 点坐标 所求直线方程为 参数方程 解三 由

3x+4z+5=0两式相加得1(4z + 55)p x:31代入方程组得(z. + 2)y=31(4z + 5)x3即称为投影方程(z. + 2)3实际上这就是所求直线的参数方程52x+V37T对称式方程4- 31

两式相加得 代入方程组得 即 ——称为投影方程 实际上这就是所求直线的参数方程 对称式方程

例3 一直线过点A(2,-3,4)，且和轴垂直柜交，求其方程解因为直线和V轴垂直相交所以交点为B（0.-3，0）取 s = BA = {2, 0, 4):y+3z - 4x- 2 所求直线方程024由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：两定一一定点、定向

解 所以交点为 取 所求直线方程 由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤： 两定——定点、定向

例4求过点A（1，2，一2）,且通过直线Lx- 22-2y+1=的平面方程31解设所求平面的法向量为?n由题设知点 M(2,-1,2） 为直线L上一点其方向向量 =3i+i-k由于所求平面通过点A及Lp n^ AM=i- 3j+4kpn=$'AM

例4 求过点A ( 1 , 2 ,－2 ) ,且通过直线 L 的平面方程 解 设所求平面的法向量为 由题设知点 为直线L上一点 其方向向量 由于所求平面通过点A及L