《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章课件_6.3全微分

全微分

全 微 分

一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得f(x+△x,y)- f(x,y)fx(x,y)Ar~f,(x,y)Ay~f(x,y+Ay)- f(x,y)二元函数二元函数对x和对√的偏增量对x和对V的偏微分

一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x和对 y的偏增量 二元函数 对 x和对 y的偏微分

全增量的概念如果函数z=f(x,J)在点(x,)的某邻域内有定义，并设P(x+△x,+△y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 f(x+△x,y+Ay)-f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量△x,Ay的全增量，记为△z，即 △z=f(x+Ax, y+Ay)-f(x,y)

如果函数 z = f (x, y)在点 (x, y)的某邻域内有定义，并设 P(x + x, y + y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之 差 f (x + x, y + y) − f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量 x,y的全增量，记为z， 即 z= f (x + x, y + y) − f (x, y) 全增量的概念

全微分的定义如果函数z= f(x,)在点(x,)的全增量△z= f(x+△x,y+△Ay)-f(x,y)可以表示为△z=A△x+By+o(p)，其中A,B不依赖于△x,Ay而仅与x,y有关，p= /(△x)2 +(Ay),则称函数z=f(x,)在点(x,)可微分,A△x+BAy称为函数z= f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即dz=A△r+BAy.如果函数z=f(x,J)在点(x,y)可微分，则函数在该点连续

全微分的定义 如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y 有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y) 可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y) 的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续

事实上△z = AAx + BAy + o(p),lim △z = 0,p-→0lim f(x + Ax,y+ Ay)Ar0Ay-→0= lim[ f(x, y)+ △z)p-0= f(x,y)故函数z=f(x,y)在点(x,)处连续二、可微的条件

事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续. 二、可微的条件

定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点az(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数axα-为必存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分OzOzAx+dzAVaxay证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分P'(x+△x,y+Ay)EP的某个邻域△z = AAx +BAy+ o(p)总成立

定理 1（必要条件） 如果函数z = f ( x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y) 的偏导数 xz  、 yz  必存在，且函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全微分 为 y yz x xz dz    +  = ． 证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y)P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立

此时p=[△x|,当△y=0时，上式仍成立，f(x + 4x, y) - f(x, y) = A . △x +o(I△x D,f(x+△x,y)- f(x,y)Oz: AlimAraxAr-→0Oz同理可得B:ay一元函数在某点的导数存在<>微分存在。多元函数的各偏导数存在←全微分存在。xyx+y*+0例如 f(x,J)=/x+yLox?+y?=0

一元函数在某点的导数存在 微分存在． 当y = 0时，上式仍成立， 此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   = 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如 . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y

在点(0,0)处有fx(0,0) = f,(0,0) = 0△z -[f.(0,0) · △x + f,(0,0) · AylAx · Ay(Ax)° + (Ay)?如果考虑点P(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0)Ar·Ay则Ar·ArV(Ax)? +(Ay)?2(Ar)° +(Ax)p说明它不能随着p→0而趋于0,当p→0 时Az -[f(0,0) △x + f,(0,0).Ayl ± o(p),函数在点（0,0）处不可微

在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +     = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +     2 2 ( x) ( x) x x  +     = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当  → 0 时 z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ),  − x   + y    函数在点(0,0)处不可微

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。定理2（充分条件）如果函数z=f(x,y)的偏azz导数在点(x,V)连续，则该函数在点x,y)ayax可微分，az.az习惯上，记全微分为dx +dydz=axay全微分的定义可推广到三元及三元以上函数QuQuQudz.du =dx +dy +axayOz

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在。 定理２（充分条件） 如果函数z = f (x, y)的偏 导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续，则该函数在点(x, y) 可微分． 习惯上，记全微分为 dy. y z dx x z dz   +   = 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 dz. z u dy y u dx x u du   +   +   =

例 1计算函数z =e在点(2,1)处的全微分azz.rety解-ayaxOzOz10x(2,1)Oy(2,1)所求全微分dz=e°dx+2edy元例2 求函数z=ycos(x-2y)，当x=-，y=元，元dx =dy=元时的全微分

例 1 计算函数 x y z = e 在点(2,1)处的全微分. 解 , xy ye x z =   , xy xe y z =   , 2 (2,1) e x z =   2 , 2 (2,1) e y z =   所求全微分 2 . 2 2 dz = e dx + e dy 例 2 求函数z = y cos( x − 2 y)，当 4  x = ，y = ， 4  dx = ，dy = 时的全微分