《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章课件_8.1常数项级数

第十一章无穷级数数项级数幂级数无穷级数付氏级数表示函数研究性质无穷级数是研究函数的工具数值计算

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第十一章

第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页

常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节

常数项级数的概念一、引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积依次作圆内接正E 3×2n（n=0,1,2,..)边形,设 aαo表示表示边数内接正三角形面积ak则圆内接正增加时增加的面积3×2″边形面积为ao +ai +a2 +... +ann→8时,这个和逼近于圆的面积A即A= ao +ai +a2 +...+an +..HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . + 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 机动 目录 上页 下页 返回 结束

引例2.小球从1米高处自由落下，每次跳起的高度减少一半，问小球是否会在某时刻停止运动？说明道理2sgt'知t=由自由落体运动方程S=12g则小球运动的时间为设t表示第k次小球落地的时间，T=ti +2t2 +2t3 +...2[1+2(/2+1) ]= 2.63 (s)gHIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 2 g 2 1 s = t 知 g 2 s t = 则小球运动的时间为 1 T = t 2 + 2t 2 3 + t +   = g 2 1       + 2 1 2 2 ( 2) 1 + +  1 2  2 = + g ( 2 +1)  2.63 ( s )   设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

将各项依定义:给定一个数列ui,u2,u3，…,un，…8Zun，即简记为次相加，n=18>un=ui +u2 +u3 +...+unn=l称上式为无穷级数其中第n项un叫做级数的一般项级数的前n项和nSn=Zuk=uj +u2 +us +... +unk=1若 lim Sn=S存在,则称无穷级数称为级数的部分和n0记作收敛，并称S为级数的和HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页

定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,  , un ,  将各项依 , 1   n= un 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

S=Zunn=1若 lim Sn不存在，则称无穷级数发散n>称差值当级数收敛时，rn = S- Sn =un+1 +un+2显然为级数的余项lim rn = 0n>0HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.讨论等比级数（又称几何级数）8Zaq" =a+aq+aq?+...+aq" +... (a*0)n=0（称为公比）的敛散性解：1)若9≠1,则部分和a-aqn-1Sn =a+aq+aq'+...+aq1-q当ql1时,由于 lim qn =o0,从而 lim Sn =o0,n→8n00因此级数发散HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim =  , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2).若9=1,则当=1时,Sn=nα→o,因此级数发散当q=-1时,级数成为a-a+a-a+...+(-1)n-1a+..n为奇数因此n 为偶数从而 lim Sn不存在，因此级数发散n8，等比级数收敛g <1时,综合 1)、2)可知，q|≥1时,等比级数发散囍HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录

2). 若 因此级数发散 ; 因此    Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.判别下列级数的敛散性88n+l1Z7n1(2)n(n+ 1)nn=ln=解: (1)n+lS, = lninn(In1D+(Ing - In2)+.4+(In(n + 1) -Inn)1= ln(n + 1) → 00(n→ 80技巧：求利用拆项相消所以级数（1）发散和HIGH EDUCATION PRESS上页返回结束机动目录下页

例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 = ln n S = (ln 2 − ln1) + (ln 3− ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) →  ( n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2Vn·(n+l)3.4(-+-+-)+--)n8n+1所以级数(2)收敛,其和为 1技巧：求和利用拆项相消HIGH EDUCATION PRESS上页返回结束机动自录下页

(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1  + + +  +  +  = n n Sn        = − 2 1 1 1 1 1 + = − n →1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .       + − 3 1 2 1       + − 4 1 3 1       + + + − 1 1 1 n n  技巧: 利用 “拆项相消” 求和 机动 目录 上页 下页 返回 结束