《高等数学》课程教学资源（书籍教材）高等数学Ⅱ_高数下册习题解答

MCollege Mathematics Guidance Series大学数学学习辅导丛书高等数学习题全解指南下册同济·第七版同济大学数学系编高等教育出服社

CollegeMathematicsGuidanceSeriesM大学数学学习辅导丛书高等数学习题全解指南下册同济·第七版同济大学数学系编GAODENGSHUXUEXITIQUANJIEZHINAN高等教育出版社·北京

内容提要本书是与同济大学数学系编写的《高等数学》（第七版）相配套的学习辅导书，由同济大学数学系的教师编写。本书内容由三部分组成，第一部分是按《高等数学》（第七版）（下册）的章节顺序编排，给出习题全解，部分题目在解答之后对该类题的解法作了小结、归纳，有的提供了多种解法：第二部分是全国硕士研究生入学统一考试数学试题选解，所选择的试题以工学类为主，少量涉及经济学类试题：第三部分是同济大学高等数学试卷选编以及考题的参考解答。本书对教材具有相对的独立性，可为学习高等数学的工科和其他非数学类专业学生以及复习高等数学准备报考硕士研究生的人员提供解题指导，也可供讲授高等数学的教师在备课和批改作业时参考。图书在版编目（CIP）数据高等数学习题全解指南：同济第7版.下册/同济大学数学系编.--北京：高等教育出版社，2014.8ISBN978-7-04-039692-8I.①高.IⅡI.①同Ⅲ.①高等数学高等学校题解V.①013-44中国版本图书馆CIP数据核字（2014）第123222号策划编辑王强责任编辑田玲封面设计王凌波版式设计于插图绘制郝林杨凤玲责任校对责任印制朱学忠400-8100598出版发行高等教育出版社咨询电话社址网址北京市西城区德外大街4号http://www.hep.edu.en邮政编码100120http://www.hep.com.en印刷高教社（天津）印务有限公司网上订购http://www.landraea.com开本787mm×960mm1/16http:/ /www, landraco, iom, en印版张21.75次2014年8月第1版字数印2014年10月第2汽月刷400千字次购书热线定价010-5858111831.80元本书如有缺页，倒页、脱页等质量向题，请到所购图书销售留联系调换版权所有侵权必究物料号3969200

目录《高等数学》（第七版）下册习题全解第八章向量代数与空间解析几何习题8-1向量及其线性运算.习题8-2数量积向量积·混合积习题8-3平面及其方程1习题8-4空间直线及其方程14习题8-5曲面及其方程·20习题8-6空间曲线及其方程24总习题八27第九章多元函数微分法及其应用37习题9-1多元函数的基本概念37习题9-2偏导数40习题9-3全微分44习题9-448多元复合函数的求导法则习题9-555隐函数的求导公式习题9-662多元函数微分学的几何应用69习题9-7方向导数与梯度72习题9-8多元函数的极值及其求法习题9-978二元函数的泰勒公式82“习题9-10最小二乘法83总习题九重积分第十章9494习题10-1二重积分的概念与性质97习题10-2二重积分的计算法121习题10-3三重积分

录II目习题10-4134重积分的应用习题10-5146含参变量的积分149总习题十第十一章曲线积分与曲面积分164164习题11-1对弧长的曲线积分习题11-2对坐标的曲线积分。169习题11-3174格林公式及其应用：习题11-4对面积的曲面积分186习题11-5192对坐标的曲面积分习题11-6196高斯公式“通量与散度200习题11-7斯托克斯公式环流量与旋度总习题十206第十二章无穷级数217习题12-1常数项级数的概念和性质217习题12-2221常数项级数的审敛法225习题12-3幕级数习题12-4函数展开成幂级数227习题12-5232函数的幂级数展开式的应用习题12-6函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质240习题12-7傅里叶级数244习题12-8般周期函数的傅里叶级数250总习题十255全国硕士研究生人学统一考试数学试题选解（五）向量代数与空间解析几何269（六）多元函数微分学273（七）多元函数积分学287（八）无穷级数306

目录同济大学高等数学试卷选编325（一）高等数学（下）期中考试试卷（「）325试题326参考答案329（二）高等数学（下）期中考试试卷（Ⅱ）329试题330参考答案332（三）高等数学（下）期末考试试卷（「）332试题333参考答案336（四）高等数学（下）期末考试试卷（Ⅱ）336试题337参考答案

一、《高等数学》（第七版）下册习题全解

第八章向量代数与空间解析几何习题8向量及其线性运算1.设u=a-b+2c.v=-a+3b-c.试用a.b.c表示2u-3v解2u-3v=2(a-b+2c）-3(-a+3b-c)=5a-11b+7c2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M，已知AM=MCDM=MB故AB=AM+MB-MC+DM=DC即AB/DC且|ABL=|DC|因此四边形ABCD是平行四边形DBDDDCDr图8-2图8-13.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D，Dz，D3D4，再把各分点与点A连接试以AB=C.BC=a表示向量DA,DA,DA和DA证如图8-2，根据题意知BD,-a,D,D-fa,D,D-号Ta,D,D =fa6故1DA=-(AB+BD)=a1-52DA=-(AB+BD,)=53D,A=-(AB+BD)=-5a~c

4一、《高等数学》（第七版）下册习题全解DA- -(AB+BD:)=-4a"sa-c.4.已知两点M，（0，1,2）和M2（1，-1,0）.试用坐标表示式表示向量M,M，及-2M,M,解M,M,=(1-0,-1-1,0-2)=（1-2,-2).-2MM,=-2(1,-2. -2)=(-2.4.4)5.求平行于向量a=（6.7，-6）的单位向量4解向量a的单位向量为一，故平行于向量a的单位向量为a67-6六(6,7,-6)= ±(Ta=+((u其中|a/=/62+72+（-6)2=116.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1.-2,3),B(2.3.-4).C(2.-3,-4).D(-2.-3.1)解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限，7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置A(3.4.0).B(0.4.3).C(3.0.0).D(0,-1.0).解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零.比如x0y面上的点的坐标为（xo，yo，0），x0z面上的点的坐标为（xo.0.0）.y0：面上的点的坐标为（0，yo，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零比如x轴上的点的坐标为（xo.0.0），y轴上的点的坐标为（0.10.0），2轴上点的坐标为（0,0,z0）A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上8.求点（a，6b，c）关于（1）各坐标面：（2）各坐标轴：（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a,b,c）关于xOy面的对称点为（a，b，-c），关于y0z面的对称点是（-a，b,c），关于z0x面的对称点为（a，-b.c)（2）点（a,b,c）关于x轴的对称点是（a，-b，-c）关于轴的对称点是（-a.b，-c），关于z轴的对称点是（-a，b.c）（3）点（a，b,e）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c).9.自点P。（xo，yo，zo）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标解设空间直角坐标系如图8-3.根据题意，PF为点P关于0面的垂线，垂足F坐标为（x0.0.z0）：P.D为点P.关于xO面的垂线，垂足D坐标为（10.0.0）：PE为点P。关于yO面的垂线，垂足E坐标为（0.o.）PoA为点P.关于x轴的垂线，重足A的坐标为（o.0.0）：PB为点P.美于轴

第八章向量代数与空间解析几何5的垂线，垂足B的坐标为（O,Yo，O）；P。C为点Po关于z轴的垂线，垂足C的坐标为(0,0,20).Z0(to,0,20)yfD图8-310.过点Po（xo，yo，zo）分别作平行于z轴的直线和平行于x0y面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P。且平行于z轴的直线1上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同而过点P。且平行于xOy面的平面π上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同Z1y图8-411.一边长为a的正方体放置在x0y面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和轴上，求它各顶点的坐标.J2，于是各顶点的坐标分别为如图8-5,已知AB=a，故OA=OB=解2..)(.).2a.0.0) 0(0. Pa.0.) (.-a.0) c(/2a.0)以222a."a2