《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）§6.3 线性变换及其矩阵

线性代数 第六章$6.3线性变换及其矩阵

线性代数 第六章 §6.3 线性变换及其矩阵

线性代数 第六章一、线性变换的概念1.映射线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的，定义1设有两个非空集合A.B.如果对于A中任一元素α，按照一定规则，总有B中一个确定的元素β和它对应，那么，这个对应规则称为从集合A到集合B的映射，记作或β=Tα,(αEA)β = T(α)集合到本身的映射称为变换，变换的概念是函数概念的推广

线性代数 第六章 线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的． １．映射 一、线性变换的概念 1 , , , , , , , ( ) ,( ). A B A B A B T T A        = =  定义 设有两个非空集合 如果对于 中任一 元素 按照一定规则 总有 中一个确定的元素 和它对应 那么 这个对应规则称为从集合 到集合 的映射 记作 或 集合到本身的映射称为变换,变换的概念是函数概念的推广．

线性代数 第六章2.线性空间的线性变换定义2设V是实数域上的n维线性空间,T是V 的一个变换,如果变换T满足(1)任给αi,α, EV,,有T(α +α2)= T(α)+ T(α2);(2)任给αVn,k R,都有T(kα)=kT(α)那么,就称T是V的一个线性变换

线性代数 第六章 ( ) ( ) ( ); (1) , , 1 2 1 2 1 2       T T T Vn + = + 任给  有 (2)  V ,k R, T(k) kT(). 任给  n  都有 = , . 那么 就称T V 是 n的一个线性变换 2 , , n n n T T V V 定义 设 是实数域上的 维线 性空间 是 的一个变换 如果变换 满足 2．线性空间的线性变换

线性代数 第六章说明：(1)线性变换就是保持线性组合的对应的变换(2)一般用黑体大写字母T,A,B,.代表线性变换,T(α)或Tα代表元素α在变换T下的象

线性代数 第六章 , ( ) . (2) , , , 变换 或 代表元素 在变换 下的象 一般用黑体大写字母 代表线性 T T T T A B     说明: (1)线性变换就是保持线性组合的对应的变换

线性代数 第六章例1线性空间V中的恒等变换（或称单位变换)E：E(α)=α, αV.是线性变换证明：设α,βV则有 E(α+β)=α+β =E(α)+E(β)1E(kα)= kα = kE(α)所以恒等变换E是线性变换

线性代数 第六章 证明: 则有 E( +  ) =  +  = E() + E( ) 设 , V E(k) = k = kE(). 例1 线性空间 中的恒等变换（或称单位变换） : 是线性变换． E() = ,  V. V E 所以恒等变换 E 是线性变换．

线性代数 第六章例2线性空间V中的零变换0：0(α)=0是线性变换.证明：设 α,βeV，则有0(α + β)= 0 = 0 + 0= 0(α)+ 0(β)0(kα)= 0 = k0 = k0(α)所以零变换是线性变换

线性代数 第六章 证明: 0( +  ) = 0 = 0 + 0 = 0()+ 0( ) 设 , V, 则有 0(k) = 0 = k0 = k0(). 所以零变换是线性变换． 例2 线性空间 中的零变换 ： 是线性 变换． V O 0() = 0

线性代数 第六章例3在R中定义变换T(x,X2,x)=(x,x2 + X3,0则T不是R的一个线性变换证明：Vα=(a,2,a),β=(b,b2,b)R3,T(α + β)= T(a, + br,a, + b2,as +b,)= (a +b,),a, +as +b, +bs,0)+(ai,a +as,0)+(b,b, +b3,0= T(α)+ T(β).所以，T不是R3的一个线性变换

线性代数 第六章 证明： ( , , ), ( , , ) , 3  = a1 a2 a3  = b1 b2 b3  R ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 T  +  = T a + b ,a + b ,a + b (( ) , ,0) 2 3 2 3 2 = a1 + b1 a + a + b + b ( , ,0) ( , ,0) 2 3 2 2 3 1 2  a1 a + a + b b + b = T() + T( ). 例3 在 中定义变换 则 不是 的一个线性变换． ( , , ) ( , ,0) 2 3 2 T x1 x2 x3 = x1 x + x 3 R 3 T R 所以，T 不是R 3的一个线性变换

线性代数 第六章二、线性变换的性质1. T(O)=0, T(-α)=-T(α)2.若β=k,α, +k,α, +..+kmαm,则Tβ=k,Ta,+k,Ta,+...+kmTam;3.若α1,α2,…,αm线性相关,则Tα1,Tα2,…Tα亦线性相关注意若α,α2,,αm线性无关,则Tα,Tα2,,Tαm不一定线性无关

线性代数 第六章 1. T(0) = 0, T(−) = −T(); . 3. , , , , , , , 1 2 1 2 亦线性相关 若 线性相关 则 m m T T T         ; 2. , 1 1 2 2 1 1 2 2 m m m m T k T k T k T k k k         = + + + = + + +  若  则 二、线性变换的性质 . , , , , , , , 1 2 1 2 不一定线性无关 注 意 若    m线性无关 则T T  T m

线性代数 第六章设Ti，T,是n维线性空间V的两个线性变换如果对任意向量αEVn，都有：Ti(α)=T2 (α),则称T1,与T,相等，记为Ti=T2

线性代数 第六章 设T1,T2是n维线性空间V的两个线性变换, 如果对任意向量𝜶 ∈Vn，都有： T1(𝜶)=T2 (𝜶), 则称T1,与T2相等，记为T1=T2

线性代数 第六章三、线性变换在给定基下的矩阵定义1设T是线性空间V中的线性变换，在V中取定一个基α,α2,,αn，如果这个基在变换I下的象为T(α)=aiα +a2iα, +...+anαn)T(α2)= a12α, +a2α2 + ... + an2αnT(αn)=aina +a2nα, +...+amman

线性代数 第六章 ( ) ( )  ( )       = + + + = + + + = + + + , , , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n nn n n n n n T a a a T a a a T a a a                 三、线性变换在给定基下的矩阵 定义１ 设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为 Vn Vn    n , , , 1 2  T T