《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）5-5 二次型及其标准形

线性代数 第五章$ 5.5二次型及其标准形二次型的概念二、二次型的矩阵表示三、二次型的标准形四、二次型的秩五、小结 思考题

线性代数 第五章 §5.5 二次型及其标准形 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 五、小结 思考题 一、二次型的概念 四、二次型的秩

几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conicsections）。通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形1）当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2）当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。5）当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。6）当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）7）当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax2bxycy^2dxeyf=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形

线性代数 第五章

线性代数 第五章二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中，当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一般方程是ax+2bxy+cy*= d(5-9)为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择适当的角度，做旋转变换ousx = x'cose- y'sine.-ous1-y= x'sine+ y'coso.DrcosotcOSO

线性代数 第五章 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 2 2 ax bxy cy d + + = − 2 (5 9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换 cos sin , sin cos , x x y y x y      = −    = +   

线性代数 第五章把方程(5-9)化成标准方程a'x' +c'y'? = d(5-10)(5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只含有平方项我们把该问题推广到一般情况，从而建立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的应用，它是线性代数的重要内容之一其中心问题是讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化成平方和的形式

线性代数 第五章 把方程(5-9)化成标准方程 2 2 a x c y d     + = − (5 10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它 只含有平方项. 我们把该问题推广到一般情况，从而建立起二 次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的应用， 它是线性代数的重要内容之一. 其中心问题是讨论如何把一般二次齐次多项式 经可逆线性变换转化成平方和的形式

线性代数第五车一、二次型的概念定义5.5.1含有n个变量xj,x2，…,x,的二次齐次多项式f(xi,X2,",xn)=aix +2a2xix, +...+2anxixn+a22x? +..+2a2nx,x, +...+ax?(5-11)称为二次型当a.是复数时，f称为复二次型当a,是实数时，f称为实二次型

线性代数 第五章 ( ) 1 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 22 2 2 2 , , , , , , 2 2 2 (5 5.5.1 11 . ) n n n n n n nn n n x x x f x x x a x a x x a x x a x a x x a x = + + + + + + + + − 定 含有 个变量 的二次齐次多 项 式 称为 二 次 型 义 , ; , . ij ij a f a f 当 是 复 数 时 称 为 当 是 实 数 时 称 复 二 次 型 为 实 二 次 型 一、二次型的概念

线性代数 第五章例如x+xx,+3xX+2x+4x,x,+3xixx, +5x +(3+i)x,x, + /2x)x都为二次型：我们下面讨论的二次型均为实二次型设由y1,J2..,y,到变量xi,2...,x,的线性变换为X, =Ciiyi +Ci2J2 +... +CinyngX, =C21Ji +C22y2 +...+C2nJ'n(5 -12)X, =CniJi +Cn2J'2 +...+CnnJ'n

线性代数 第五章 例如 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型. 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 4 3 2 4 3 5 (3 ) 2 x x x x x x x x x ix x x i x x x x + + + + + + + + + 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , (5 12) . n n n n n n n n n nn n y y y x x x x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y    = + ++   = + ++  −    = + ++  设由 到变量 的线性变换为

线性代数第五或写成为矩阵形式：X=CYX1X2y2其中X=VC = (Cj,)mxn可见，乡线性变换把二次型变为二次型

线性代数 第五章 或写成为矩阵形式: X CY = 1 1 2 2 , ( )ij m n n n x y x y X Y C c x y              = = =               其中 ， 可见，线性变换把二次型变为二次型

线性代数 第五章二、二次型的矩阵表示取a;=aij"则2a;x,x, =ajx,x, +anx,x,(i<j)于是f =aux +axx, +...+ainxxn+a2xx +a2x +...+a2nxxn+·.+anxnX,+anxX,+...+amx?X(auX +ax, +..+anxn)+x2(a21xX+a22x, +... +a2nxn)+:+X,anX,+anX +...+annxn

线性代数 第五章 二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + 1 1 11 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n a a x a x a x a x a x a x x x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + 2 ( ) ji ij ij i j ij i j ji j i 取a a a x x a x x a x x i j = = +  ，则 于是

线性代数 第五章aX, +aiX, +...+ainx,a2iX, +a22X, +...+a2nXn=[xi,X2,..,xn]aniXi+anX+..+annx,nnntanla2ain专121422a2n=[xi,x2,".,xn]xaahjn21nn

线性代数 第五章 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x             =             11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 [ , , , ] n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + +   =       + + +

线性代数第五车anxia12ainX2a2122a2n记 A=X =aaanln2nn则二次型可记作f=XAX,其中A称为二次型的矩阵显然，A是对称矩阵.二次型与对称矩阵是一一对应例如，二次型f=x-3x2-4x,x+x的矩阵为？

线性代数 第五章 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A X a a a x             = =             记 则二次型可记作 , . f X AX A =  其中 称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵. 二次型与对称矩阵是一一对应. 2 2 2 1 2 2 3 3 例如，二次型f x x x x x = − − + 3 4 的矩阵为 ？