《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分

第三章复变函数的积分1、复积分2、柯西积分定理3、柯西积分公式4、高阶导数公式5、更多的推论

* 第三章 复变函数的积分 1、复积分 3、柯西积分公式 2、柯西积分定理 4、高阶导数公式 5、更多的推论

83.1复变函数的积分1、复积分的定义2、复积分的基本性质3、复积分的计算4、小结与思考

§3.1 复变函数的积分 1、复积分的定义 2、复积分的基本性质 4、小结与思考 3、复积分的计算

1．复变函数积分的概念设C为平面上给定的一条连续曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那么我们就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线如果A到B作为曲线C的正向那么B到A就是曲线C的负向记为C-.关于曲线方向的说明以后把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点，除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向

* 1. 复变函数积分的概念 设 C 为平面上给定的一条连续曲线, 如果 选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向 (或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向的 曲线, 称为有向曲线。 A 如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向， B 那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向, . − 记为C 关于曲线方向的说明: 以后把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终 点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向

注意：简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P沿此方向前进时，邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方。与之相反的方向就是曲线的负方向

* 简单闭曲线 C 的正向 是指当曲线上的点 P 沿此 方向前进时, 邻近 P 点的曲 线的内部始终位于 P 点的 左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 注意：

1.积分的定义：已知：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且c为定义域内起点为a终点为的有向曲线，求f(z)沿着曲线c的积分。(1) 分割b2在C中插入n一1个分点，连通l两个端点，n+1个Na = Zo, Z1,""",Zk-1, Zk,*.-, Zn = b,l(2)取近似值x0在每个弧段 zk-1Zk (k = 1,2,,n)上任意取一点 SkZk-12k ~ zk - Zk-1 J(5k)(zk-Zk-I)= f(5k)azkf(5k)zk-13k

* 1. 积分的定义: o x y a b 1 ( 1,2, , ) , k k k z z k n  在每个弧段 − = 上任意取一点 在 1 C n 中插入 − 个分点，连通 两个端点，n+1个 (1) 分割 (2)取近似值 0 a z = ( ) ( , ) ( , ) a ( ) f z u x y i v x y c b f z c 已知： = + ，且 为定义域内起点 为 终点为 的有向曲线, 求 沿着曲线 的积分。 ( k k ) 1 k f z z  − k k k 1 1 k z z z z − −  − f z z f z (  k k k k k )( − = −1 ) ( ) 0 1 1 , , , , , , , k k n a z z z z z b = = −

(3)求和Ef(5t)(2k - zh-1)-Ef(5r)Az = Sn,这里Az = Zk-Zk-1, Ask= zk-1z,的长度,By记8=max(As,1≤k≤n(4)求极限e当n无限增加且s→0时hee-limE f(5)△=f, f(z)dzx0=1则称（在曲线叫，极限值称为函数f(z)沿曲线 C 的积分,记为Jc f(z)dz

* o x y A B 1 记 max{ }, k k n  s   =  , , 这里zk = zk − zk−1 sk = zk−1 zk的长度 当n无限增加且 → 0时, (3)求和 (4)求极限 ( )d C f z z 

注意：1：对C的分法无关2：与5k的取法无关说明：(1) 用[-f(z)dz表示f(z)沿着曲线C的负向的积分(2)f(z)沿着此闭曲线C的积分也可记为Φf(z)dzC

* 说明 : (2) ( ) ( )d . C f z C f z z 沿着此闭曲线 的积分也可记为  (1) ( )d ( ) C f z z f z 用 − 表 示 沿 着 曲 线C 的 负 向 的 积 分 1: 对 的 分 法 无 关 2: 与 k 的 取 法 无 关 C 注意：

2.积分存在的条件及积分性质如果f（z）是连续函数而C是光滑曲线时积分Jf(z)dz 一定存在Z.f(5.)AzkZ[u(5k, nk)+ iv(5k, ne)(Axe +iAyk)=k=lk=lE[u(5k, nk)Axs -v(5k, nk)Ayk ]-niZ[v(Eh,nk)Axh + u(5k,nk)Ayh)-[c f(z)dz = [_udx -vdy+if,vdx + udy

* 2. 积分存在的条件及积分性质 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] n k k k k k k k n k k k k k k k u x v y i v x u y             = = = − + +    − C udx vdy  + C = + i vdx udy 1 ( ) n k k k f z   =  1 [ ( , ) ( , )]( ) n k k k k k k k u iv x i y       = = + +  C f (z)dz 如果f(z)是连续函数而C是光滑曲线时， 积分 一定存在 C f (z)dz

公式 Jf(z)dz =[,udx - vdy+i,vdx + udy从形式上可以看成是f(z)=u+iv与dz=dx+idy相乘后求积分得到:J. f(z)dz = J (u + iv)(dx + idy)= J,udx + ivdx + iudy - vdy_udx - vdy + il vdx + udy

* f (z) = u + iv 与dz = dx + idy 相乘后求积分得到: C f (z)dz  = + + C (u iv)(dx idy)  = + + − C udx ivdx iudy vdy d d d d .   = − + + C C u x v y i v x u y C f (z)dz  − C udx vdy  + C = + i vdx udy 从形式上可以看成是 公式

作业：如果f（z)沿曲线C是可积的，则f在C上有界可以使用反证法，亦即，若f在C上无界则必定在某一个分割[zk-1，zk]上|f（z）|无界

* 作业：如果f(z)沿曲线C是可积的，则f 在C上有界。 可以使用反证法，亦即，若f在C上无界， 则必定在某一个分割 上|f(z)| 无界