《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）7.1 微分方程的基本概念

第一节微分方程基本概念一、引例二、基本概念

第一节 微分方程基本概念 一、引 例 二、基本概念

第七章微分方程一、引例例1一曲线通过点（1.2）.在该曲线上任意点（x，V)处的切线斜率为2x求该曲线的方程解设所求曲线方程为（则有dy①=2xdx2,②2xdx=x2+CC为任意常数）由①式得y由②式得C=1,因此所求曲线方程为y=x2+1第一节微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 例1 解 ① (C￾为任意常数) 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 式得 求该曲线的方程. 一、引例 设所求曲线方程为ᵆ= ᵆ(ᵆ),则有 y = x 2 + 1 = x 2 + C

第七章微分方程例2列车在平直路上以20m/s的速度行驶制动时获得加速度a=一0.4m/s2，求制动后列车的运动规律解设列车在制动后S行驶了m，即求(d?s①dt2 = -0.4已知人ds= 20②= 0, dt lt= 0?由①式得－0.2口=20，5=0利用②式和③式可得- 0.22+20因此所求运动规律为第一节微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 例2 求制动后列车的运动规律. 解 已知 由①式得 利用②式和③式可得 因此所求运动规律为 ① ② ᵆ= − 0.2ᵆ 2 + ᵆ1 ᵆ+ ᵆ2 设列车在制动后 ᵆs 行驶了ᵆm, 即求ᵆ= ᵆ(ᵆ). ③ ᵆ1 = 20,  ᵆ2 = 0 ᵆ= − 0.2ᵆ 2 + 20ᵆ

第七章微分方程二、微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程d?sdy(例1),：-0.4（例2= 2x例如：dt2dxdz(2+ (日20二x十y都是微分方程ax常微分方程(本章内容)注：分类偏微分方程第一节微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 常微分方程 偏微分方程 含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做 微分方程. (本章内容) 分类 二、 微分方程的基本概念 1. 微分方程 都是微分方程. 注： 例如: (2ᵆ+ ᵆ)ᵆ+ (ᵆ− 2ᵆ)ᵆ= 0, (例1), (例2)

第七章微分方程2.微分方程的阶方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶，dy例如：一阶= 2xdxd?s二阶-0.4dt2+ 2 4 32三阶(4)-4+1012+5手sin2四阶第一节微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的阶 一阶 二阶 三阶 四阶 例如: ᵆ ‴ + ᵆ 2ᵆ ″ − 4ᵆ ′ = 3ᵆ 2 ᵆ (4) − 4ᵆ ‴ + 10ᵆ ″ − 12ᵆ ′ + 5ᵆ= sin2ᵆ

第七章微分方程一般地n阶常微分方程的形式是F(x,y,y',.-, y(n)) = 0或(n)=f(x,y,y,,y(n-1) (n阶显式微分方程)注上式中y(n)必须出现，而其他的变量则可以不出现例如：y(n) = 1.第一节微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 或 例如: 注 一般地,n阶常微分方程的形式是

3.微分方程的解及解的分类（1）使微分方程成为恒等式的函数叫做微分方程的解(2）若解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为通解（3）确定了通解中任意常数以后的解称之为特解

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 （1）使微分方程成为恒等式的函数叫做微分方程的解; 3. 微分方程的解及解的分类 （2）若解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称之为通解; （3）确定了通解中任意常数以后的解称之为特解

第七章微分方程例如：在例1中例1一曲线通过点(1,2)在该曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为2x求该曲线的方程解设所求曲线方程为（则有dy①= 2xdx②= 2,7通解2xdx=2+口（C为任意常数）由①式得y=由②式得C=F 2+ 1特解因此所求曲线方程为1,第一节微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 通解 特解 例如: 在例1中 例1 解 ① = ᵆ 2 + ᵆ (C￾为任意常数) 由 ②式得 C￾=￾ 1, 因此所求曲线方程为 ᵆ= ᵆ2 + 1 ② 由 ①式得 求该曲线的方程. 设所求曲线方程为ᵆ= ᵆ(ᵆ),则有 第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程

第七章微分方程例如：在例2中例2列车在平行线上以20m/s的速度行驶制动时获得加速度a=-0.4m/s2求制动后列车的运动规律解即求丰（设列车在制动后衔驶了血d?s①=-0.4dt2已知ds②= 20s= 0,dt lt=0t=0通解3-0.2+中由①式得5=0口= 20,利用②式和③式可得特解因此所求运动规律为E-0.22+20第一节微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 例如: 在例2中 ① ② 例2 列车在平行线上以20m/s的速度行驶,制动时获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解 已知 由①式得 利用②式和③式可得 ᵆ1 = 20,  ᵆ2 = 0 因此所求运动规律为 ᵆ= − 0.2ᵆ 2 + 20ᵆ ᵆ= − 0.2ᵆ 2 + ᵆ1 ᵆ+ ᵆ2 设列车在制动后ᵆ行驶了ᵆ, 即求ᵆ= ᵆ(ᵆ). ③ 通解 特解 第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程

第七章微分方程4.初值问题(1)用来确定任意常数的条件称为初值条件n阶方程的初值条件：y(xo) = yo, y'(xo) = yo, , y(n-1)(xo) = y (n-1)（2）求微分方程满足初值条件的特解这样一个问题叫做初值问题例如：d? sdy-0.4,d t22x,dx两个引例ds0.2.= 20s二都是初值问题，Vdtt=0=1XIt=0第一节微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念 第七章 微分方程 （2）求微分方程满足初值条件的特解这样一个问题叫做初值问题. 4. 初值问题 （1） 用来确定任意常数的条件称为初值条件. 都是初值问题. 两个引例 例如: