《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）7.7 常系数齐次线性微分方程

第七节常系数齐次线性微分方程、二阶情形下的定义解法和举例n阶情形下的定义解法和举例

第七节 常系数齐次线性微分方程 一、二阶情形下的定义解法和举例

第六章定积分的应用一、二阶常系数线性齐次微分方程形如EO（是常数）定义的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，如果p,q不全是常数，则称之为二阶变系数齐次线性微分方程y"+ 2y'-5y = 0,例如：二阶常系数齐次线性微分方程y"+2y+3xy=0.二阶变系数齐次线性微分方程■第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 一、二阶常系数线性齐次微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶变系数齐次线性微分方程 定义 ᵯ ″ + ᵯ 形如 ′ + ᵯᵯ= 0 (ᵯ,是常数) 例如: y ″ + 2y ′ − 5y = 0, y ″ + 2y ′ + 3xy = 0

第六章定积分的应用2.解法由二阶齐次线性微分方程通解的结构可知，要求通解就是要求它的两个线性无关的特解，那么如何求两个线性无关的特解呢？函数与其一阶、二阶导数只差一个常数因子为此先来分析方程的特点：y"+py+qy=O(pg是常数）而指数函数y=erx(r为常数）刚好具有这一特性因此可用指数函数e为常数）来尝试■第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 就是要求它的两个线性无关的特解. 那么如何求两个 线性无关的特解呢？ 为此先来分析方程的特点： 函数与其一阶、二阶导 数只差一个常数因子. 2. 解法 由二阶齐次线性微分方程通解的结构可知, 要求通解 y ″ + py ′ + qy = 0(p,q是常数) 因此可用指数函数ᵯ= eᵯᵯ(r为常数)来尝试

第六章定积分的应用 (是常数)设y=erx(r为待定常数)是方程的解，则FeF2e0代入方程并化简，得(r2 +pr + g = 0)erx = 0特征方程2+E0这就说明：只要满足特征方程那么e便是解■第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 ᵯ 2 + ᵯᵯ+ ᵯ= 0 特征方程 ᵯ″ + ᵯᵯ′ + ᵯᵯ= 0 (ᵯ,是常数) 则 ᵯ′ = ᵯeᵯᵯ ,ᵯ″ = ᵯ 2eᵯᵯ 代入方程并化简,得 这就说明：只要ᵯ满足特征方程,那么ᵯ= eᵯᵯ便是解

第六章定积分的应用+0E（是常数）1.当2-40时，特征方程有两个不相等的实根，设为则可得微分方程的两个线性无关的特解：Y1 = er1x, y2 = er2x,于是通解为y = Cierix + C2er2x.第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 则可得微分方程的两个线性无关的特解： 于是通解为 特征方程有两个不相等的实根,设为ᵯ1 ,ᵯ2 , 1. 当ᵯ 2 − 4ᵯ> 0时, ᵯ″ + ᵯᵯ′ + ᵯᵯ= 0 (ᵯ,是常数) ᵯ 2 + ᵯᵯ+ ᵯ= 0

第六章定积分的应用+0（是常数）2.当2一4年0时，特征方程有两个相等的实根，设为口这时只能得一个特解口=e口下面用常数变易法再求一个与Y1线性无关的特解设y2=u(x)erx是一个解,代入方程并化简，得e+ (2± + (+ ±0h= 0.由于r是特征方程的二重根，故上述方程即为F0取u= x,则=e于是通解为（+e■第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 下面用常数变易法再求 特征方程有两个相等的实根, 设为ᵯ, 这时只能得一个特解 ᵯ1 = eᵯᵯ. 代入方程并化简,得 故上述方程即为ᵯ″ = 0. ᵯ ᵯ″ + ᵯᵯ′ + ᵯᵯ= 0 (ᵯ,是常数) 2 + ᵯᵯ+ ᵯ= 0 eᵯᵯ[ᵯ″ + (2ᵯ+ ᵯ)ᵯ′ + (ᵯ 2 + ᵯᵯ+ ᵯ)ᵯ] = 0. 则 ᵯ2 = ᵯeᵯᵯ. 于是通解为ᵯ= (ᵯ1 + ᵯ2 ᵯ)eᵯᵯ. 2. 当ᵯ 2 − 4ᵯ= 0时

第六章定积分的应用+0（是常数）3.当-4A0时，特征方程有一对共轭复根r=α+iβ,r=α-iβ这时原方程有两个复数解：y1 = e(α+iB)x = eax(cosβx +isinβx),y2 = e(α-iβ)x = eαx(cosβx-isinβx).利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解：1yi = 3(y1 + y2) = eαx cos βx,1( =eaxsinβx.y2 =2i第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理,￾得原方程的线性无关特解: ᵯ ᵯ″ + ᵯᵯ′ + ᵯᵯ= 0 (ᵯ,是常数) 2 + ᵯᵯ+ ᵯ= 0 3. 当ᵯ 2 − 4ᵯ＜0时, 特征方程有一对共轭复根 (ᵯ1 − ᵯ2 )

第六章定积分的应用+0（是常数)于是通解为y = eαx(Ci cosβx + C2 sinβx)综上所述，可得求通解的步骤：步骤1写出特征方程；步骤2求出特征方程的两个根；步骤3根据特征方程的两个根的不同情形写出通解■第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 于是通解为 综上所述,￾可得求通解的步骤： 步骤1￾写出特征方程； 步骤2 求出特征方程的两个根； 步骤3 根据特征方程的两个根的不同情形写出通解. ᵯ ᵯ″ + ᵯᵯ′ + ᵯᵯ= 0 (ᵯ,是常数) 2 + ᵯᵯ+ ᵯ= 0

第六章定积分的应用+0叶ELO（是常数）通解特征根y = Cierix + C2er2x两个实根r1±r2两个实根=2=rE（+ey = (Ci cosβx + C2 sin βx)eαx两个复根r1,2=α±iβ第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 特征根 通解 ᵯ ᵯ 2 + ᵯᵯ+ ᵯ= 0 ″ + ᵯ ′ + ᵯᵯ= 0 (ᵯ,是常数) ᵯ= (ᵯ1 + ᵯ2ᵯ)eᵯᵯ

第六章定积分的应用例1求微分方程23手0的通解解特征方程为？2日3=0，是两个不相等的实根特征根=-=3所以通解为y= Cie-x + C2e3x第一节定积分的元素法

第一节 定积分的元素法 第六章 定积分的应用 所以通解为 特征根 ᵯ1 = − 1,ᵯ2 = 3 求微分方程ᵯ ″ − 2ᵯ ′ 例1 − 3ᵯ= 0的通解. ᵯ 解 特征方程为 2 − 2ᵯ− 3 = 0