《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判定曲线的凹凸性与拐点

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定 二、曲线的凹凸性与拐点

第三章微分中值定理与导数的应用函数单调性的判定1.单调性的判别法yy=f(x)y=f(x)B0xobx0b(x)≥0f(x)≤0可见：函数的单调性与导数的符号密切相关问题能否用导数的符号判别函数的单调性呢？第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、函数单调性的判定 1. 单调性的判别法

第三章微分中值定理与导数的应用定理1设函数y=f(x)在[ab]上连续在ab)内可导(1)如果在(ab)内f(x) > 0则函数y = f(x)在[ab]上单调增加;(2)如果在(ab)内f(x)f(×)(1)若在(ab)内,> 0,：y=f(x)在[ab]上单调增加(2)若在(ab)内,f(x)<0, 则 f() <0, . f(×2)<f(×1)证毕y=f(x)在[ab]上单调减少.第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 定理1 (1)如果在(a,b)内f ′ (x) > 0,则函数y = f(x)在[a,b]上 (2)如果在(a,b)内f ′ (x) 0, ∴ f(x2 ) > f(x1 (1)若在(a,b)内,ᵆ′(ᵆ) > 0, ). ∴ y = f(x)在[a,b]上单调增加. (2)若在(a,b)内,f ′ (x) < 0, 则 f ′ (ᵆ ) < 0, ∴ f(x2) < f(x1). ∴ y = f(x)在[a,b]上单调减少. 证毕 单调增加; 单调减少. 设函数y = f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导. 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用

第三章微分中值定理与导数的应用yt注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性y=xy =x3, y'=0,但在(一8,+α)上单调增力例如：Y-OXO一般地有如下定理：定理1设函数y =f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导(1）如果在(ab)内f(x)≥0且等号仅在有限多个点处成立，则函数y=f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)≤0且等号仅在有限多个点处成立参阅本节习题8则函数y=f(x)在[ab]上单调减少注定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 例如: 定理1 注 y = x 3 , 但在( − ∞, + ∞)上单调增加. 一般地,有如下定理： 设函数y = f(x)在[ab, ]上连续,在(a,b)内可导. (1) 如果在(a,b)内f ′ (x) ≥ 0,且等号仅在有限多个点处成立, 则函数y = f(x)在[a,b]上单调增加. (2) 如果在(a,b)内f ′ (x) ≤ 0,且等号仅在有限多个点处成立, 则函数y = f(x)在[a,b]上单调减少. 定理中的区间换成其它有限或无限区间, 结论仍然成立. 参阅本节习题8 注意:￾￾￾￾￾

第三章微分中值定理与导数的应用例1判定函数y =-sinx在[一]上的单调性解：y=×一sinx在[一]上连续在（一)上可导且y'=1-cosx≥0且等号仅在x=0成立，函数y=xsinx在[-]上单调增加例2讨论函数y=e×—×-1的单调性解：y=e×1.又：定义域为(-8,+ 8).在(-8,0)内y0，函数在[0，+)上单调增加第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 例1 判定函数y = x − sinx在[ − π,π]上的单调性. 解 ∵ y = x − sinx在[ − π,π]上连续,在( − π,π)上可导,且 且等号仅在x = 0成立. ∴ 函数y = x − sinx 在[ − π,π]上单调增加. 例2 讨论函数y = e x − x − 1的单调性. 解 ∵ y ′ = e x − 1.又 ∵ 定义域为( − ∞, + ∞). 在( − ∞,0)内,y ′ 0, ∴ 函数在[0, + ∞)上单调增加

第三章微分中值定理与导数的应用2.单调区间的求法问题：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调yA尖点：一阶导不存在驻点：使f(x)-0的点y=f(x)折点：一阶导不存在b0X7X1X2X3X4xsX6a第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 2. 单调区间的求法

第三章微分中值定理与导数的应用若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为定义函数的单调区间驻点和不可导点，可能是单调区间的分界点求函数单调性的步骤(1)求定义域；(2)求导数;(3）求驻点与不可导点；f'(x)>0单增(4)求相应区间的导数符号,判别增减性f'(x)<0单减第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 求函数单调性的步骤 驻点和不可导点,￾可能是单调区间的分界点． (1)求定义域; (2)求导数; (3)求驻点与不可导点; (4) 单增 单减 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的,￾则该区间称为 函数的单调区间

第三章微分中值定理与导数的应用确定函数f(x)=/x2的单调性例3解yA定义域为(-8,+8)y=x22f'(x) =(x± 0)3X当x=0时,导数不存在，o(- 8,0)x(0, + 8单调减区间为（一8,0],f(x)+单调增区间为[0，+8.f(x)单增单减第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 例3 解 定义域为( − ∞, + ∞). 当x = 0时,导数不存在. x 单调减区间为 ( − ∞,0], 单调增区间为 [0, + ∞). ( − ∞,0) (0, + ∞) f ′ (x) − + f(x) 单减 单增

第三章微分中值定理与导数的应用例4确定函数f(×)=2×3—9x2+12×－3的单调区间解：定义域为(一8，+8)f(x) = 6x2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2)解方程f(）=0得，X1=1X2=2y4(- 8,1)(1,2)(2, + 80)x+f(x)+一2f(x)单增单增单减O2x( - 00,1],[2, + 00)单调增区间为[1,2].单调减区间为第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 例4 确定函数f(x) = 2x 3 − 9x 2 + 12x − 3的单调区间. 解 ∵ 定义域为( − ∞, + ∞). f ′ (x) = 6x 2 − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) x1 = 1,x2 = 2. 单调增区间为 ( − ∞,1],[2, + ∞). 单调减区间为 [1,2]. x ( − ∞,1) (1,2) (2, + ∞) f ′ (x) f(x) 单增 单减 单增 + − +

第三章微分中值定理与导数的应用3.利用单调性证明不等式2sin xT例时,证明：当0<x≤一12Tx2sinxTT证)上可导令f(x) =则f(x)在0上连续，在(0,2Txcosxxcosx-sinx(x -tanx) <0.且 f'(x) =2x2令 g(x) = x -tanx,则 g'(x)=1-sec2 x =-tan?x <0,：g(x)在0上递减，g(x)<g(0)=0,即x-tanx<0.02sin xT上单调递减, : f(x)≥f()= 0,. f(x)在0,.证毕2xTT第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第三章 微分中值定理与导数的应用 3. 利用单调性证明不等式 例 证 < 0. < 0, 证毕