《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）6.2 定积分在几何学上的应用

第二节定积分在几何上的应用、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长

第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 二、体 积 三、平面曲线的弧长

第六章定积分的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形AyAy=f2(x)y=f(x)y=f(x)Xxooxx+Axbb9axAx曲边梯形的面积曲边梯形的面积brbA=f(x)dxA =[f2(x) - fi(x)]dxaa第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积

第六章定积分的应用yAVIdx=g2(y)y+Ayx=g(y)x=g1()caxo0x曲边梯形的面积曲边梯形的面积.ddA =A =g (y)dy[g2(y) - gi(y)]dy第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积

第六章定积分的应用计算两条抛物线y2=xy=x2在第一象限所围图形的面积例1解两曲线的交点(0,0），(1,1)y选×为积分变量则xE[0,1].(1,1)s面积元素dA=（Vx一x2）dx1332:A=(vx -dx:x23Jox0xx+dx1= 3.第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 = 1 3 . 面积元素 选 x 为积分变量,则x ∈ [0,1]. 两曲线的交点(0,0) , (1,1) 计算两条抛物线y 2 = x,y = x 2 在第一象限所围图形的面积. 解 例1

第六章定积分的应用例2计算抛物线y2=2x与直线y=×－4所围图形的面积解两曲线的交点（2，-2），（8,4）选取y作积分变量，-21则yE[-2,4](8, 4)y+dyydA = (y + 4 -面积元素di0x(2)(2,X1:A=(y+4-2= 18.4y223-2第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 = 18. 面积元素 则y ∈ [ − 2,4] 选取y作积分变量, 两曲线的交点(2, − 2) , (8,4) 计算抛物线y 2 = 2x与直线y = x − 4所围图形的面积. 解 例2

第六章定积分的应用课堂练习计算抛物线y2=2x与直线y=×-4所围图形的面积在例2中如果选取x为积分变量则结果如何？U答案当xE[0,2]时,2=2x(8, 4)面积元素dA=（V2x-V-2x)dx，x当x E[2,8]时,(2, -2)面积元素dA=[V2x-(x-4)]dx(V2x-V-2x)dx +/ [V2x-(x-4)]dx =A=：结论：积分变量选取恰当可使计算简便第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 课堂练习 计算抛物线y 2 = 2x与直线y = x − 4所围图形的面积. 在例2中,如果选取x为积分变量,则结果如何？ 答案 当x ∈ [0,2]时, 当x ∈ [2,8]时, = ⋯

第六章定积分的应用t212例3求椭圆=1所围图形的面积a2b2a解利用对称性，有A=4A1：A=4A1=4ydx利用圆的参数方程x = acost(0≤t≤2π)y=bsintOxx+dxJa应用定积分换元法得T02sin?tdtA=4bsint.(-asint)dt=4abT021元当b时得圆面积公式=元ab=4ab.2:2第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 例3 解 利用对称性, 有A = 4A1 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 ⋅ 1 2 = 4ab ⋅ π 2 = πab 当 ᵄ￾=￾b 时得圆面积公式

第六章定积分的应用2.极坐标情形设(0) E C[αβ] p(0)≥0， 求由曲线r = p(0)及射线=α，θ=β围成的曲边扇形的面积在区间[αβ]】上任取小区间[09+d0]=p(0)则对应该小区间上曲边扇形面积的de1[(近似值为dA=160所求曲边扇形的面积为xR1β?(0) dA =2a第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 2. 极坐标情形 则对应该小区间上曲边扇形面积的 求由曲线 r = φ(θ) 及射线 θ = α, θ = β 围成的曲边扇形的面积￾. 设φ(θ) ∈ C[α,β] ,φ(θ) ≥ 0 , 在区间 [α,β] 上任取小区间 [θ,θ + dθ] 近似值为 所求曲边扇形的面积为

第六章定积分的应用例4计算阿基米德螺线p=a0（a>0）上相应于0从0变到2元的一段弧与极轴所围成的图形的面积c21解 A=(a )2 do2元a2 (A0a22元[19313p=ao246元3a第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 计算阿基米德螺线ρ = aθ (a > 0) 上相应于θ从0变到2π的 一段弧与极轴所围成的图形的面积. 例4 解 = 4 3 π 3a 2

第六章定积分的应用计算心形线p=a(1+ cos)(a>0)所围图形的面积例5TT1解A=2a?(1 + cos 0)? do210T0（利用对称性4 cos4Q2de10p=a(1+cos)0令t=2r2H8a2cos4tdt02aA一0313元=8a2=2元a24:22第二节定积分在几何上的应用

第二节 定积分在几何上的应用 第六章 定积分的应用 (利用对称性 ) 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 例5 解 令t = θ 2 = 3 2 πa = 8a 2 2 ⋅