《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.3函数的极限

第三节函数的极限一、 函数极限的定义二、 函数极限的性质三、小结 练习题

第三节 函数的极限 •一、函数极限的定义 •二、函数极限的性质 •三、小结 练习题

对 y=f(x),自变量变化过程的六种形式(1) x→xo(4)x-→8(2) x → xo(5)x→+80(6)x-→-8(3) x → xo本节内容：一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限

二、自变量趋于有限值时函数的极限 对 y f x  ( ) , 0 0 0 (1) (2) (3) x x x x x x      (4) (5) (6) x x x       自变量变化过程的六种形式: 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 :

邻域：设a与8是两个实数，且>0,数集(xx-a<8})称为点a的8邻域,记作：U(a,s)。点a叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径U(a,8)=(xa-8<x<a+8)= (xx-a<8)88a-8aa+8xU(a,8)={x|0<|x-al<8)称为点a的去心的8邻域,记作U(a,8),称(a-,a)为点a的左邻域，称(a,a+)为点a的右邻域

邻域: , 0, { } , , . a x x a a U a a          设 与 是两个实数 且 数集 称为点 的 邻域 记作: ( , ). 点 叫做这邻域的中心 叫做这邻域的半径 U a x a x a x x a ( , ) { }= { }            a   a a   x   ( , ) { 0 } , ( , ). o o U a x x a a U a         称为点 的去心的 邻域 记作 ( , ) ( , ) . a δ a a δ a a δ a δ 称   为点 的左 邻域，称 为 点 的右 邻域

函数极限的定义一、1、自变量趋向有限值时函数的极限问题：函数y=f(x)在x→x,的过程中;对应函数值f(x)无限趋近于确定数Af(x)-A<ε 表示|f(x)-A任意小;0<x-x< 表示x→x,的过程SSxX-SX,+sXoS体现x接近x，程度

f x A f x A ( ) ( ) ;     表示 任意小 0 0 0 .     x x x x  表示 的过程 x 0 x0   x 0 x     0 体现x x 接近 程度. 1、自变量趋向有限值时函数的极限 一、函数极限的定义 0 ( ) ( ) . y f x x x f x A 函数   在 的过程中， 对应函数值 无限趋 问 近于确定数 题：

定义1 设函数f(x)在x,的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(不论它有多么小，总存在正数8，使得当x满足不等式00,>0,使当0时恒有|f(x)-A<8

"  "定 义 0 0, 0, 0 , ( ) . x x f x A              使当 时 恒有 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) x x f x x A x x x f x f x A A f x x x f x A f x A x x               设函数 在 的某个去心邻域内有定义， 如果存在常数 ，对于任意给定的正数 不论它有 多么小 ，总存在正数 ，使得当 满足不等式 时,对应的函数值 都满足不等式 那么常数 就叫做函数 当 时的极限， 记作： 或 当 定义

>注(1)函数极限与f(x)在点x,是否有定义无关(2)x→x,的过程必须是双侧的(2).几何解释：yy= f(x)当x在x的去心邻A+EENEEEER域时,函数y= f(x)A图形完全落在以直A-β..ER线y=A为中心线，Sxo+sX-8xo0宽为2的带形区域内x显然，找到一个S后，8越小越好

(2).几何解释: 0 , ( ) , 2 . x x y f x y A     当 在 的去心 邻 域时 函数 图形完全落在以直 线 为中心线 宽为 的带形区域内 0 (1) ( ) 函数极限与f x x 在点 是否有定义无关. 显然, , . 找到一个  后 越小越好  注 0 (2) . x x  的过程必须是双侧的 y  f ( x ) A   A   A   0 x   0 x 0 x   x y o

例1 证明 lim C = C,(C为常数)x→xo证任给ε>0，任取>0，当00,当0<x-x|<8=8时,.:. lim x=Xo.f(x)-A=x-x<ε成立,x-→Xo

例 1 lim , ( ). 0 证 明 C C C为常数 x x   证 f ( x )  A  C  C  成立, 任给   0,  0 lim . 0 C C x x    任取   0, 0 , 当  x  x0  时 例 2 lim . 0 0 x x x x   证 明 证 0 f x A x x ( ) ,    任给  0, 取  , 0 , 当  x  x0    时0 f ( x)  A  x  x  成立, lim . 0 0 x x x x   

r-1例3证明lim=2x→1 x-1证函数在点x=1处没有定义x2-1: f(x)- A=-2=|x -1任给>0,x-1只要取8= 8,要使|f(x)-A<8,2x当0<x-x<8时，就有2<8,x-1r:2.limx-1x-1

例3 2. 1 1 lim 2 1     x x x 证明 证 2 1 ( ) 2 1 x f x A x      任给  0, 只要取  , 0 , 当  x  x0  时 函数在点x=1处没有定义.  x  1 要 使 f ( x)  A  , 2 , 1 1 2      x x 就有 2. 1 1 lim 2 1      x x x

例4 证明:当x>0时,lim √x=x。x-→xox-xo证: |f(x)-A|=/x-/x|=x+/xo0,要使[f(x)-A|<8,只要x-x。<x,且x≥0，而x≥0可用x-x|≤x,保证.故取8=minx,,x,则当0<-x<时，必有Vx-/x<lim Vx = /x.因此X→Xo

0 0 0 4 0 lim . x x x x x  例 证明:当   时， 证: 0 0 0 ( ) x x f x A x x x x       0 0 1 x x x   0 0 0 0 0 , ( ) , , 0 0 . f x A x x x x x x x x              要使 只要 且 ，而 可用 保证 故取 0 x x    0 0 lim x x x x  因此     min , ,  x x 0 0  0 则当0    x x  时，必有

(3).单侧极限：V例如,y=1-x1-x,x0和x<0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近x,记作x→x;x从右侧无限趋近x,记作x→x+

(3).单侧极限: 例如, lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2           f x x x x x f x x 证明 设 分x  0和x  0两种情况分别讨论 0 0 x x x x , ; 从左侧无限趋近 记作   0 0 x x x x , . 从右侧无限趋近 记作   y o x 1 y  1  x 1 2 y  x 