《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.3泰勒公式

第三节泰勒公式问题的提出二、泰勃公式三、 简单应用四、小结

第三节 泰勒公式 • 一、问题的提出 • 二、泰勒公式 • 三、简单应用 • 四、小结

问题的提出1.设f(x)在x,点连续则f(x) ~ f(xo)[f(x) = f(x)+α]2.设f(x)在x,点可导，则f(x)~ f(x,)+ f'(x.)(x-x)[f(x)= f(x)+ f'(x)(x-x)+o(x -x))不足：1、精确度不高；2、误差不能估计

0 0 0 1. ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] f x x f x f x f x f x  = + 设 在 点连续则 0 0 0 0 0 0 0 0 2. ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] f x x f x f x f x x x f x f x f x x x o x x  + −  = + − + −  设 在 点可导，则 一、问题的提出 不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计

问题：寻找函数P.(x),使得f(x)~ P,(x)误差R,(x)= f(x)-P,(x)可估计设函数f(x)在含有x,的开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，P,(x)为多项式函数P(x) = a +a(x-x)+a,(x-x) +...+a,(x-x)"误差 R,(x)= f(x)-P,(x)

问题: n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 + − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n ( ), ( ) ( ) 寻找函数P x f x P x n n 使得  ( ) ( ) ( ) 误差R x f x P x n n = − 可估计 0 ( ) ( , ) ( 1) ( ) n f x x a b n P x + 设函数 在含有 的开区间 内具有直到 阶导数， 为多项式函数

假设 P(k)(x)= f(k)(x) k =1,2,...,nao = f(xo), 1.a = f'(xo), 2!a, = f"(xo)n!a, = f(n(x,)1得=(x)(k = 0,1,2,..,n)k!代入P,(x)中得f"(xo)P,(x) = f(xo) + f'(xo)(x - xo)+x-x·2!f("(x)(x - x)"n!

0 0 a f x = ( )， 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − +  = +  − +  1 0 1 ( ),  = a f x  2 0 2! ( )  = a f x    , ( ) 0 ! ( ) n n a f x n  = ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 1,2, , k k 假设 P x f x k n n = = ( ) 0 1 ( ) ( 0,1,2, , ) ! k k a f x k n k 得 = =

泰勒(Taylor)中值定理二、天泰勒，E.泰勒(Taylor)中值定理1如果函数f(x)在x,的处具有直到n阶的导数，则对任一x E(a,b)，有f"(x)f(x)= f(xo)+ f'(x)(x-x)+(x-x)2!f(n)(xo)(x-x)" + R,(x)++n!其中 R,(x)=o(x-x)"(在x,与x之间)佩亚诺(Peano)型的余项

0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( (Taylor) 1 ) ( ) n n n n n f x x n x a b f x f x f x f x x x x x f x x x R x n R x o x x x x    = + − + −  + + − + = − 如果函数 在 的处具 有直到 阶的导数，则对任一 ，有 其中 在 与 泰 中值定理 之间 勒 二、泰勒(Taylor)中值定理 佩亚诺(Peano)型的余项

泰勒Brook Taylor16851731英国数学家

泰 勒 Brook Taylor 1685—1731 英国数学家

18世纪早期英国生顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，1685年8月18日出生于米德尔塞克斯的埃德蒙顿的一个富裕家庭，他1705年进入剑桥大学圣约翰学院学习，1709年毕业并获法学学士学位，随后移居伦敦他在1712年年仅24岁时当选为英国皇家学会会员，1714年获法学博士学位．同年出任英国皇家学会秘书．这也是他的科研成果最多产的时期．为解决牛顿与莱布尼茨关于微积分发明权之争的问题，他被任命为仲裁委员会委员.1731年12月29日，泰勒卒于伦敦.研究泰勒的生平及工作表明，他对数学发展的贡献本质上要比一条以他命名的定理大得多.他涉及的、创造的但未能进一步发展的主要数学概念之多令人吃惊.他的工作过分简洁抽象难以追随.但家庭影响、生活的不幸健康不佳以及其他一些无法估量的因素，影响了他不太长的生命中的数学创造

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英 国数学家泰勒,1685 年8月18日出生于米德尔塞克斯的埃 德蒙顿的一个富裕家庭. 他1705年进入剑桥大学圣约翰 学院学习,1709年毕业并获法学学士学位, 随后移居伦敦. 他在1712年年仅24岁时当选为英国皇家学会会员, 1714 年获法学博士学位. 同年出任英国皇家学会秘书. 这也 是他的科研成果最多产的时期. 为解决牛顿与莱布尼茨 关于微积分发明权之争的问题, 他被任命为仲裁委员会 委员.1731年12月29日, 泰勒卒于伦敦. 研究泰勒的生平及工作表明, 他对数学发展的贡献 本质上要比一条以他命名的定理大得多.他涉及的、创造 的但未能进一步发展的主要数学概念之多令人吃惊.他的 工作过分简洁抽象难以追随.但家庭影响、生活的不幸、 健康不佳以及其他一些无法估量的因素,影响了他不太长 的生命中的数学创造．

泰勒(Taylor）中值定理2如果函数f(x)在x,的某邻域U(x)内具有(n+1)阶的导数，则对任一xε(a,b)，有(x)=(x)+ (x)(x-x)+()(x-x,)2!f(n (xo)(x-x)" + R,(x)++n!f(n+1)()其中 R,(x)=(x一x)n+1(在x,与x之间)(n +1)!

0 0 0 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( 1) 1 0 0 ( ) ( ) ( 1) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( 1) Taylor) 2 ! n n n n n n f x x U x n x a b f x f x f x f x x x x x f x x x R x n f R x x x x x n   + + +   = + − + −  + + − + = − + 如果函数 在 的某邻域 内具有 阶的导数，则对任一 ，有 泰勒 中值 在 定 其 与 理 中 之间

证明：由假设，R,(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,且R,(x) = R,(x) = R(x) = ... = R(n(x) = 0两函数R()及(x一x)n+在以x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得R,(x)R,(x)- R,(xo)(x-x,)n+1(x - x)n+1 - 0R,(S)（S在x与x之间）(n+1)(5 -xo)

证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导数,且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n  +  −  = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n  n

两函数R,(x)及(n+1)(x-x)"在以x,及,为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得R,(5)R,(5) - R,(x)(n + 1)(i - x)" - 0(n+1)(Si -xo)"R(52)(,在x与5之间）(n + 1)n(5, - x,)"-1如此下去，经过(n+1)次后，得R(n+1)(5)R,(x)(x-x)"+1(n+ 1)!(在x,与,之间，也在x,与x之间)

( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + −  −  = + −  n n n n n n x R R x n x R   2 1 2 0 1 2 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) n n R x n n x     −  = + − 在 与 之间 ( 1) 1 0 0 0 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) n n n n n n R x R x x n x x x    + + + = − + 如此下去，经过 次后，得 在 与 之间,也在 与 之间 0 0 1 ( ) ( 1)( )n R x n x x x n 两函数  及 + − 在以 及 为 端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得