《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章_4.1不定积分的定义和性质

第四章不定积分微分法：F'(x)=(？?）互递运算积分法：(?)=f(x)

第四章 微分法: F x ( ) ( ? ) = 积分法: ( ? ) ( )  = f x 互逆运算 不定积分

第一节不定积分的定义和性质一、原函数与不定积分的概念二、 基本积分表三、不定积分的性质四、小结

第一节 不定积分的定义和性质 • 一、原函数与不定积分的概念 • 二、基本积分表 • 三、不定积分的性质 • 四、小结

一、原函数与不定积分的概念1.定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即Vx I,都有F'(x)= f(x)或dF(x)= f(x)dx，那么F(x)就称为f(x)或f(x)dx在区间内的原函数例(sinx)= cosxsin x是cos x的原函数(ln x)= =(x>0)x11:Inx是在区间(0,+8)内的原函数x

例 (sin ) cos sin cos . x x x x  =  是 的原函数 1 (ln ) ( 0) 1 ln (0, ) . x x x x x  =   + 是 在区间 内的原函数 ( ) 1.定义： ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I F x f x x I F x f x dF x f x dx F x f x f x dx I   =  = 如果在区间 内，可导函数 的 导函数为 即 都有 或 ，那么 就称为 或 在区间 内的原函数. 一、原函数与不定积分的概念

问：函数具备什么条件才有原函数？原函数存在定理：如果f(x)在区间内连续，那么在区间I内存在可导函数F(x)，使Vx I，都有F'(x)= f(x).简言之：连续函数一定有原函数问题：（1)原函数是否唯一?(2)若不唯一它们之间有什么联系？例 (sin x)= cosx(sin x +C)'= cos x(C为任意常数）

原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin ) cos (sin ) cos ( ) x x x C x C   = + = 为任意常数 (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 问：函数具备什么条件才有原函数？ ( ) ( ) ( ) ( ). f x I I F x x I F x f x   =  如果 在区间 内连续，那么在区间 内存在 可导函数 ，使 ，都有

关于原函数的结论：(1)若F'(x)= f(x)，则对于任意常数CF(x)+C都是f(x)的原函数(2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数则F(x)-G(x)=C,(C为任意常数)证：: [F(x)-G(x)} = F'(x)-G(x)= f(x)- f(x)= 0(C为任意常数）F(x)-G(x)=C

关于原函数的结论： (1) ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x C F x C f x  = + 若 ，则对于任意常数 ， 都是 的原函数， (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F x G x f x F x G x C C − = 若 和 都是 的原函数， 则 ， 为任意常数 证  F(x) − G(x) = F(x) − G(x) = f (x) − f (x) = 0  − = F x G x C C ( ) ( ) ( ) 为任意常数

2.不定积分的定义：在区间I内,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积分记为[ f(x)dx.f(x)dxF(x)+C被积表达式被积函数任意常数积分号积分变量

任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 2.不定积分的定义：  f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 , ( ) ( ) ( ) . I f x f x I f x dx  在区间 内 函数 的带有任意常数项的 原函数称为 在区间 内的不定积分， 记为

例1 求dx.2+X解：(arctanx):1+x?dx = arctanx + C.2+X11-dx例2 求x解: 当x>0时,(ln x) =二, : 在(0,+o0)内1dx=Inx+Cx当x<0时,(ln(-x)=二,: 在(00,0)内,=d-dx=In(-x)+CXX1-dx = In |x|+ C.综合：x

例2 求 1 dx. x  解: 1 x x 0 (ln ) , x 当  = 时，  1 dx x C ln . x = + 综合： 2 1 (arctan ) , 1 x x  = + arctan . 1 1  2 = + +  dx x C x 1 (0, ) ln dx x C x  + = + 在 内， 1 x x 0 (ln( )) , x 当  − = 时，  1 ( ,0) ln( ) dx x C x  − = − + 在 内， 解 例1 求 . 1 1 2  + dx x

例3设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程设曲线方程为y=f(x)解dy根据题意得= 2x,dx即f(x)是2x的一个原函数，: J2xdx =x +C,. f(x) = x2 +C,由曲线通过点(1,2) →> C =1,所求曲线方程y=x2+1

例3 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为y f x = ( ), 2 , dy x dx 根据题意得 = 2 , 2   xdx = x + C ( ) , 2  f x = x + C 由曲线通过点(1,2)  C = 1, 2 所求曲线方程 1. y x = + 即f x x ( ) 2 是 的一个原函数

f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线V=x2+C2显然，求不定积分得到一积分曲线族y=x2由不定积分的定义，可知y=x2+Ci (x)tl= (x),xdlf f(x)dx)= f(x)dx,[ F'(x)dx = F(x)+C, [dF(x)= F(x)+C

显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 [ ( ) ] ( ), d f x dx f x dx =  d[ f (x)dx] = f (x)dx,  ( ) ( ) ,  F x dx = F x + C ( ) ( ) .  dF x = F x + C f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线

>说明：1.被积函数是原函数的导数.被积表达式是原函数的微分2.不定积分表示那些导数等于被积函数的所有函数.或说其微分等于被积表达式的所有函数.因此绝不能漏写积分常数C3.求已知函数的原函数或不定积分的运算称为积分运算，它是微分运算的逆运算

1. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是 原函数的微分. 2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所 有函数.或说其微分等于被积表达式的所有 函数.因此绝不能漏写积分常数C. 3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算,它是微分运算的逆运算. ➢ 说明：