《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章_6.3定积分在物理学上的应用

第三节定积分在物理学上的应用、变力沿直线所做的功一二、 水压力三、引力四、小结

第三节 定积分在物理学上的应用 • 一、变力沿直线所做的功 • 二、水压力 • 三、引力 • 四、小结

一、变力沿直线所作的功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为W=F.s.如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想

由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为 W = F  s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想. 一、变力沿直线所作的功

例1把一个带 + 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的申荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场9对它的作用力的大小为 F=k（k是常数），当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿r轴移动到 r=b 处时，计算电场力 F 对它所作的功

例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在 r 轴上坐 标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电 荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场 对它的作用力的大小为 2 r q F = k （k是常数），当 这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴移 动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．

+1解取r为积分变量，ahr+dr1r e[a,b],kqdr.取任一小区间[r,r+dr], 功元素dw=bkgar=k[-I-k(--1)所求功为w=如果要考虑将单位电荷移到无穷远处"gar- [--W

解 取r为积分变量， o r •+ q a b • •• • • • • + 1 r r [a,b],  r + dr 取任一小区间[r,r + dr], 功元素 , 2 dr r kq dw = 所求功为 dr r kq w b a = 2 b a r kq       = − 1 . 1 1       = − a b kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 dr r kq w a + = 2 +       = − a r kq 1 . a kq =

例2 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水问要把池内的水全部吸出，需作多少功？解建立坐标系如图取x为积分变量，xE[0,5]x+dx取任一小区间[x,x+dx]

点击图片任意处播放 \暂停 例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？ 解 建立坐标系如图 x 取 x + dx x为积分变量， x [0,5] xo 取任一小区间[x, x + dx], 5

这一薄层水的重力为x+dx9.8元.3°dx功元素为dw=88.2元·x·dx，88.2元.x - dxW=0273t~3462（千焦)= 88.2元210

x o xx + dx 5 这一薄层水的重力为 dx 2 9.8 3 功元素为 dw = 88.2 x  dx, w =  x  dx  88.2 5 0 5 0 2 2 88.2       =  x  3462 (千焦)．

二、水压力由物理学知道，在水深为h处的压强为p=h，这里是水的比重．如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为P=p·A.如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想

由物理学知道，在水深为 h处的压强为 p = h，这里 是水的比重．如果有一面积为 A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平 板一侧所受的水压力为P = p  A． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强 p不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思 想． 二、水压力

例3一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力，解在端面建立坐标系如图取x为积分变量，x e[0,R取任一小区间[x,x+dx小矩形片上各处的压强近p=x,似相等小矩形片的面积为2/R2-x2dx

例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为R，水的比重为 ，计算桶的一端 面上所受的压力． 解 在端面建立坐标系如图 x o 取x为积分变量，x [0,R] 取任一小区间[x, x + dx] xx + dx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为 2 . 2 2 R − x dx p = x

小矩形片的压力元素为dP=2xR2－x2dx端面上所受的压力P=["2x/R?-x"dx= - J/R2 -x’d(R2 -x)21[(R-)]"-R3-.3

小矩形片的压力元素为 dP x R x dx 2 2 = 2 − P x R x dx R 2 2 0 = 2 −   ( ) 2 2 0 2 2 R x d R x R = − − −   ( ) R R x 0 3 2 2 3 2       = − − . 3 2 3 R  = 端面上所受的压力

三、引力由物理学知道，质量分别为m,m,相距为m,m,r的两个质点间的引力的大小为F=k其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向。如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算

由物理学知道，质量分别为 1 2 m , m 相距为 r的两个质点间的引力的大小为 2 1 2 r m m F = k ， 其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的 连线方向． 如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算． 三、引力