《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章_2.3高阶导数

第三节 高阶导数、高阶导数的定义二、 高阶导数求法举例三、高阶导数求法法则思考题四、小结

第三节 高阶导数 • 一、高阶导数的定义 • 二、高阶导数求法举例 • 三、高阶导数求法法则 • 四、小结 思考题

高阶导数的定义一、引例：变速直线运动 s= s(t)ds速度即v=s'V二dtdydds加速度a-dtdtdta=(s')即

一、高阶导数的定义 s s t = ( ) 速度 即 v s =  加速度 d , d s v t = d d d( ) d d d v s a t t t = = 即 a s = ( )  引例：变速直线运动

一般的，函数y= f(x)的导数y= f'(x)仍然是x的函数,我们把f(x)得导数叫做函数y= f(x)d'yd"f(x)或在点x处的二阶导数；记作：y",f"(x)dr?dr2即 y"=(y')'=(f'(x)= f"(x),dy_df(x)_(d)=(f(x)或dx?dx?dxdxdxdx相应地,f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数

2 2 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) y f x y f x x f x y f x d y d f x x y f x dx dx = =   =   一般的，函数 的导数 仍然 是 的函数 我们把 得导数叫做函数 在点 处的二阶导数；记作： ， 或 2 2 2 2 ( ) ( ( )) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) y y f x f x d y d f x d dy d df x dx dx dx dx dx dx       = = = = = = 即 或 相应地, ( ) ; ( ) . f x f x 称为零阶导数  称为一阶导数

类似地，二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数.分别记作J", J(4),..., J(n)d'y d'ydn或dr3dr"dx4二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. (4) ( ) 3 4 3 4 , . . n n n y y y d y d y d y dx dx dx  ， ， 或 ， ， 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,依次类推 , n-1阶导数的导数称为 n 阶导数 ,分别记作

高阶导数求法举例二例1 设 y=arctanx,求f"(O),f"(0)2x1一1解J?2(1 +x")221+x+x-2x2(3x2 -1)(1+x2(1+x*)3-2x2(3x2 -1):. f"(0)(1 + x) x=0 = 0; f"(0)Ix=0 =-2.购1(1+x)3例2. 设 y = eax,求 y(n),解: y'=ae"x, y"=a'e"*, y"=a'e"*,..,y(n) = a" eax特别有：(e")(n) =e* (a*)(n) =a*.In" a(a>0)

例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y +  = ) 1 1 ( 2  +  = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = 2 2 2 [ ] (1 ) x y x −   = + 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 2 (0) 0; (1 ) x x f x = −  = =  + 2 2 3 0 2(3 1) (0) 2. (1 ) x x f x = −  = = − + 二、 高阶导数求法举例 3 , , a x 解: y a e  = 例2. 设 , 求 a x y e = ( ) . n y , a x y a e  = 2 , a x y a e  = ( ) n n a x y a e = ( ) ( ) ln ( 0) x n x n a a a a =   ( ) ( ) x n x 特别有: e e =

例3 设 y=x~ (αER),求y(n)解 '=αxα-1j" =(αxa-")'= α(α-1)xα-2y" = (α(α- 1)xα-2) = α(α-1)(α- 2)xα-3y(n) =α(α-1)..(α-n+ 1)xα-n(n≥1)若α为自然数n,则y(") =(x")(") = n!,j(n+1) = (n!)' = 0.>注意：求n阶导数时.求出1-3或4阶后.不要急于合并.分析结果的规律性,写出n阶导数.（数学归纳法证明)

例3 ( ), . (n) 设 y = x  R 求y  解 −1 y = x ( ) 1  =   − y x 2 ( 1) − =  − x  3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) =  −  − x 2  =  −  − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) =  −  − +  − y n x n n  n 若  为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) =  + y n n = 0. ➢ 注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于 合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归 纳法证明)

例4 设 y=In(1+x),求y(n)2!1解LnV(1 + x)31+x(1 + x)3!D(4)(1+x)(n -1)!=(-1)"-1(h(n≥1, 0!=1)(1 +x)"思考: y=ln(1-x), y(m) =-(n-1!(1-x)

例4 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 x y +  = 1 1 2 (1 ) 1 x y +  = − 3 (1 ) 2! x y +  = 4 (4) (1 ) 3! x y + = −  ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1  = + − = − − n x n y n n n 思考: y x = − ln(1 ) , ( ) ( 1)! (1 ) n n n y x − = − −

例5 设 y=sin x,求y(n)π-2解 j'=cosx = sin(x+元-2元元-2Ty" = cos(x += sin(x += sin(x + 2 .十-一P22元一=i(+.y" = cos(x + 2S2元j(") = sin(x + n2元(cosx)(n) = cos(x + n 同理可得-2

例5 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin(  = x + ) 2 cos(  y  = x + ) 2 2 sin(  +  = x + ) 2 sin( 2  = x +  ) 2 cos( 2  y  = x +  ) 2 sin( 3  = x +   ) 2 sin( ( )  y = x + n n ) 2 (cos ) cos( ( )  x = x + n 同理可得 n

常用高阶导数公式(e*)(n) =ex(1)(a*)(") =a*.In" a (a>0)元-2元-2(2) (sin kx)(") = k" sin(kx + n(3) (cos kx)(n) = k" cos(kx + n(4) (x~)(") =α(α-1)...(α- n+1)xα-nn!(5) (ln x)() =(-1)"-1 (n - 1)!()(") =(-1)"t+1hx

常用高阶导数公式 n n x n x  − (4) ( ) = ( − 1) ( − + 1) ( )  n n n x n x ( 1)! (5) (ln ) ( 1) ( ) 1 − = − − ) 2 (2) (sin ) sin( ( )  kx = k kx + n n n ) 2 (3) (cos ) cos( ( )  kx = k kx + n n n (1) ( ) ln ( 0) ( ) a = a  a a  x n x n x n x e = e ( ) ( ) 1 ( ) ! ) ( 1) 1 ( + = − n n n x n x

例6 设 y=exsin bx (a,b为常数),求y(n)解y'=ae" sin bx + be cosbx= eax (asin bx+ bcos bx)6= eax . Va? + b? sin(bx + p)(β =arctanay" = a? + b? .[aea sin(bx + )+ beax cos(bx + p)]= Va? + b .eax . Na? +b’ sin(bx + 2p)by(") =(a* +b")=.e" sin(bx + n)(β= arctana

例 6 sin ( , ), . ax (n) 设 y = e bx a b为常数 求y 解 y ae bx be bx ax ax  = sin + cos e (a sin bx bcos bx) ax = + sin( ) ( arctan ) 2 2 ab e a b bx ax =  + +  = [ sin( ) cos( )] 2 2 y  = a + b  ae bx  + be bx +  ax ax sin( 2 ) 2 2 2 2 = a + b e  a + b bx +  ax ( ) sin( ) ( ) 2 2 2 y = a + b  e bx + n ax n n ( arctan ) ab  =