《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.2洛比达法则

第二节 洛必达法则08型及型未定式解法：洛必达法则二08二、0.80,80-0,0°,1°80°型未定式解法三、 小结

第二节 洛必达法则 二、0 , − ,0 0 ,1  , 0型未定式解法 三、小结 一、型及 型未定式解法 :洛必达法则 0 0  

18型及型未定式解法：洛必达法则08定义如果当x→a(或x→8)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那末f(x)极限lim可能存在、也可能不存在．通F(x)x-→a(x-→80)080或型未定式。常把这种极限称为一08Insinaxtanxlimlim例如,x-o lnsin bxx-0X此类极限不能直接用或根本不能用四则运算法则求

0 : 0   一、 型及 型未定式解法 洛必达法则 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数  → →  → F x f x f x F x x a x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )   此类极限不能直接用或根本不能用四则运算法 则求

定理 设(1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零(2)在a点的某去心邻域内,f'(x)及 F'(x)都存在且 F'(x)± 0;f'(x)存在(或为无穷大);(3) limF'(x)x-→af(x)f'(x)那末lim=limx-a F'(x)F(x)x-→a格必达，G.-F.-A.de>定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则

(1) , ( ) ( ) ; (2) , ( ) ( ) ( ) 0; ( ) (3) lim ( ); ( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x a x a x a x a f x F x a f x F x F x f x F x f x f x F x F x 设 当 时 函数 及 都趋于零 在 点的某去心邻域内 及 都存在 且 存在 或为无穷大 那末 → → → →       = 定理 ➢ 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则

1694.7.22伯努利莱布尼兹洛必达欧拉拉格朗日柯西

洛必达 柯西 拉格朗日 欧拉 伯努利 莱布尼兹 1694.7.22

证：定义辅助函数F(x),[f(x),x+ax±aF(x)=fi(x) =1.0,0,x=ax=a在U(a,)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上，f(x),F(x)满足柯西中值定理的条件，则有f(x) _ fi(αx)-f(a) - f() _f'(5)(在x与a之间）F(x)F(x)-F(a)F()F'()f'(E)f'(x) lim存在,当x→a时,→,lima F'(x)5→a F'(5)x-→af(x)f'(x)lim..limF'(x)F(x)x-→ax-→a

证: 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1    =  = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1    =  = x a F x x a F x ( , ) , o 在U a x  内任取一点 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a F x F x F a − = − 1 1 ( ) ( ) f F    =  (在x与a之间) 当x → a时, → a, ( ) ( ) lim lim , ( ) ( ) a x a f f x  F F x  → →    =   存在 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x   =  ( ) ( ) F  f   =

注①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的极限存在或为80②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的极限f'(x)若lim还是未定式，且f'(x),F"(x)满足F'(x)x-a定理中对f(x),F(x)所要求的条件，则可继续使用法则，直到不再是未定式为止f"(x)= lim?limx-a F"(x)F(x)x→a

注 ①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③ ( ) lim ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) x a f x f x F x F x f x F x →     若 还是未定式，且 满足 定理中对 所要求的条件，则可继续 使用法则，直到不再是未定式为止 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x  =  ( ) lim ( ) x a f x → F x  = = 

将x→a换成x→at,x→a ,x→+80,x→-0,0x→oo的型及-型未定式都有类似的结论：08如：x→8时型的极限0定理22设(1)当x→o时,函数 f(x)及F(x)都趋于零;(2)当Ix>N时，f(x)及 F'(x)都存在，且 F'(x)0;f'(x).存在(或为无穷大);(3) limF'(x)x-→0f(x)-那末limF(x)X→8

④ , , , , 0 0 x a x a x a x x x → → → → + → − + −  →   将 换成 的 型及 型未定式都有类似的结论： 时 型的极限 0 0 如： x →  定理2 (1) , ( ) ( ) ; (2) | | ( ) ( ) ( ) 0; ( ) (3) lim ( ); ( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x x x x f x F x x N f x F x F x f x F x f x f x F x F x 设 当 时 函数 及 都趋于零 当 时， 及 都存在，且 存在 或为无穷大 那末 →  → → →         =

cosxU例1 求lim()元元x2x2(cos x)sinx解 原式=limlim=-1.1T元元C-x→X222x3 - 3x+2例2求 lim1x-x2-x+10x-13x2-336x解原式=limlimx-13x2-2x -12x-16x - 2

例 1 例 2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00( ) 00( 解 2 cos lim . 2 x x x 求  2 (cos ) lim ( ) 2 x x x 原式 →  = −  2 sin limx 1 x  → − = 1

/1+xcosx-例3求lim0ox→01-sinx2/1+x解原式=lim=8.3x2x-08In sin ax求 lim例4x-→>0 In sin bx8acosax·sinbxcosbx解原式=limlim1x-o bcosbx.sinaxx-→0cosax

例 3 例 4 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x→ 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0  = → 原式 = 1. ) 00(( )  ax bx x cos cos lim→0 = 3 0 cos 1 lim . x x x x 求 2 0 3 2 11 sin lim x x x x + − − = → 解 原式 = 

8Inx例5 (1)求lim(n>0).th8X→+11xlim:0原式= lim二解hrr-1x-→+80x-→+8nxth(2)求 lim(a>0)erx-→+00nxh-1n!解：原式= limlima"eix =0.AeixX-→+00x-→+0由此可以看出三类函数的增大速度eix >x" >ln x (x →+o0)

例 5 解 ln (1) lim ( 0). n x x n →+ x 求 1 1 lim n x x nx →+ − 原式 = 1 lim 0 n x→+ nx = = (2) lim ( 0) nx x xe  →+ 求  1 lim n x x nxe  − →+ 解：原式 = ! lim n x x ne →+  = = = 0. ( )  ln ( ). x n e x x x    → + 由此可以看出三类函数的增大速度