《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第二章_2.5函数的微分

第五节西数的微分问题的提出、微分的概念三、 可微的条件四、微分在近似计算中的应用五、微分在估计误差中的应用六、小结
第五节 函数的微分 • 一、问题的提出 • 二、微分的概念 • 三、可微的条件 • 四、微分在近似计算中的应用 • 五、微分在估计误差中的应用 • 六、小结

问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量(Ar)2设边长由x.变到x。+△x,AxLArAx:正方形面积A=x,.. A = (x, + Ax)2 - x)XoA=x:A= 2xo · Ax +(x)?(1)(2)(1):△x的线性函数,且为△A的主要部分:(2)△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 0 0 设边长由x 变到x + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x x 的高阶无穷小, . 当 很小时可忽略 (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0 一、问题的提出

再例如,设函数y=x在点x.处的改变量为△x时,求函数的改变量△yAy =(x, + Ax)3 - x3= 3x .Ar +3x, ·(Ax) +(Ax)3(1)(2)当△x|很小时,(2)是△x的高阶无穷小o(△x),:. Ay ~ 3x? · Ax.既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当 x 很小时, 3 . 2 y x0 x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

二、微分的概念设函数y= f(x)在某区间内有定义1.定义x,及x。+△x在这区间内,如果Ay = f(x, + Ax)- f(x) = A· △x +o(△x)成立(其中A是与△x无关的常数),则称函数y=f(x)在点x,可微,并且称A·△x为函数y= f(x)在点x,相应于自变量增量△Ax的微分记作dy或df(x),即dy=A·Ax.微分dy叫做函数增量△y的线性主部(微分的实质)
1.定义0 0 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) , ( ), . y f x x x x y f x x f x A x o x A x y f x x A x y f x x x dy df x dy A x = + = + − = + = = = 设函数 在某区间内有定义 及 在这区间内 如果 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 在点 可微 并且称 为函数 在点 相应于自变量增量 的微分 记作 或 即 微分dy叫做函数增量 y的线性主部. (微分的实质) 二、微分的概念

由定义知:(1)dy是自变量的改变量△r的线性函数;(2)Ay-dy=o(△x)是比△x高阶无穷小;(3)当A±0时,dy与△Ay是等价无穷小:Ay0(△x)→1 (△x →0)dyA.△r(线性主部);(4)当△x很小时,Ay~dy(5) A是与△x无关的常数,但与f(x)和x,有关
由定义知: ( ) ; 1 dy x 是自变量的改变量 的线性函数 ( ) ( ) ; 2 − = y dy o x x 是比 高阶无穷小 ( ) , ; 3 0 当A dy y 时 与 是等价无穷小 dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). 0 ( ) , ( ) . 5 A x f x x 是与 无关的常数 但与 和 有关 (4) , ( ); 当 x y dy 很小时 线性主部

2.可微的条件定理函数f(x)在点x,可微的充要条件是函数f(x)在点x,处可导,且 A= f'(x)证(1)必要性:f(x)在点x,可微o(△r)AyA-:. Ay = A . Ax + o(△xr)AxArAyo(△x)= A.则 limA+limArAr-→>0 AxAr-→0即函数f(x)在点x,可导,且A=f(x,)
0 0 0 ( ) ( ) , ( ). f x x f x x A f x = 函数 在点 可微的充要条件是函 数 在点 处可导 且 定理 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f x 2.可微的条件

(2)充分性:函数f(x)在点x可导Ay = f'(x),= f'(x0)+α,即limAr-→0 △xAr(△x → 0)从而 Ay = f'(x)·Ax+α·(Ax),: α→0= f'(x.). △x + o(△r),:函数f(x)在点x,可微,且f'(x)= A.:可导台可微A= f'(xo)函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分,记作dy或df(x),即dy=f(x)Ax
(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), 0 = f x x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f ( ) , , ( ), ( ) . y f x x dy df x dy f x x = = 函数 在任意点 的微分 称为函数的 微分 记作 或 即

例1求函数y=x2当x=2,△x=0.02时的微分解 : dy= (x)Ax = 3xAx.= 0.24.= 3x△x.. dyx=2x=2Ax=0.02Ar=0.02通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分记作dx,即dx =△x.dyf'(x).:. dy = f'(x)dx.dx即函数的微分dy与自变量的微分x之商等于该函数的导数.导数也叫微商
例 1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 3 = = = xx xx dy x x = 0.24. , , . x x dx dx x = 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 记作 即 dy = f (x)dx. f (x). dx dy = . " ". 即函数的微分dy dx 与自变量的微分 之商等于 该函数的导数 导数也叫 微商

y3.几何意义:(如图)N当△y是曲线的纵To(Ar)Aydy坐标增量时,dyMy= f(x)Ar就是切线纵坐标a对应的增量0Xo+AxxXo当△x很小时,在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN
y = f (x) 0x M N T dy yo(x) ) x yo x 3.几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P , , . x M MP MN 当 很小时 在点 的附近 切线段 可近似代替曲线段

三、 微分的求法dy = f'(x)dx求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分1.基本初等函数的微分公式d(x") = μuxu-'dxd(C) = 0d(sin x) = cos xdxd(cosx) = -sin xdxd(tan x) = sec xdxd(cot x) = -csc2 xdxd(secx) = sec x tan xdxd(cscx)=-cscxcotxdx
dy = f (x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 1 2 2 d( ) 0 d( ) d d(sin ) cos d d(cos ) sin d d(tan ) sec d d(cot ) csc d d(sec ) sec tan d d(csc ) csc cot d C x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = = = = − = = − = = − 三、微分的求法
按次数下载不扣除下载券;
注册用户24小时内重复下载只扣除一次;
顺序:VIP每日次数-->可用次数-->下载券;
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第二章_2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第二章_2.3高阶导数.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第二章_2.2函数的求导法则.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第二章_2.1导数的概念.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第三章_3.7曲率.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第三章_3.6函数图形的描绘.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第三章_3.5函数的极值与最大最小值.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第三章_3.4函数的单调性与曲线的凹凸性.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第三章_3.3泰勒公式.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第三章_3.2洛比达法则.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第三章_3.1中值定理.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章_7.8常系数二阶非齐次线性微分方程.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章_7.7常系数二阶齐次线性微分方程.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章_7.6高阶线性微分方程.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章_7.5可降阶的高阶微分方程.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章_7.4一阶线性微分方程.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章_7.3齐次方程.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章_7.2可分离变量的微分方程.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章_7.1微分方程的概念.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章_1.6极限存在准则、两个重要极限.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第五章_5.1定积分的概念和性质.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第五章_5.2微积分基本公式.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第五章_5.3定积分的换元法和分部积分法.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第五章_5.4反常积分.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第五章_5.5反常积分的审敛法.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第六章_6.1定积分的元素法.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第六章_6.2定积分在几何上的应用.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第六章_6.3定积分在物理学上的应用.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第四章_4.1不定积分的定义和性质.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第四章_4.2换元积分法.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第四章_4.3分部积分.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第四章_4.4有理函数的积分.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(书籍教材)同济大学高等数学第七版上册.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数与极限_1-10 闭区间上连续函数的性质.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数与极限_1-1 映射与函数.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数与极限_1-2 数列极限.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数与极限_1-3 函数极限.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数与极限_1-4 无穷小与无穷大.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数与极限_1-5 极限运算法则.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数与极限_1-6极限存在准则 两个重要极限.pdf