《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-5 极限运算法则

第五节极限运算法则一、无穷小运算法则二、本极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则

二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 极限运算法则

一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小证：考虑两个无穷小的和.设 lim α=0，lim β=0x→xoX→Xo>0,,>0,当0-x0,当0<-xo时,有β<取=min(8,8,,则当0<x-xo<8时,有α+α++=lim(α+β)=0因此x-→Xo这说明当x→xo时，α+β为无穷小量

  min 1 ,  2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设    0 , 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当     0 0 x x        2 2       因此 这说明当 时, 为无穷小量

类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！例如，limn-→o0

说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 1 1 1 lim n  n n n           1 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小

定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小证:设VxU(xo,S), |u|≤M设limα=0,即>0,>0,当xU(xo2）X→Xo时,有α≤%取=min(i,2,则当 xU(xo,)时,就有uα=α|M=故limuα=，即uα是x→xo时的无穷小X→Xo推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小

定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u  M 又设 lim 0, 0    x x 即    0 , 当 时, 有 M    取 min , , 1 2     则当 ( , ) 0 x U x    时 , 就有 u  u       M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小

sinx例1.求limxX-00sinx解：：sinx≤llim == 0x-00 Xsinxlim利用定理2可知xX-80sinx的渐近线说明：y=0是yx

例1. 求 解: 0 1 lim  x x 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . x x y sin 

极限的四则运算法则二、村定理 3.若lim f(x)= A,lim g(x)= B,则有lim[f(x)±g(x)) = lim f(x)±limg(x) = A± B证:因lim f(x)= A,limg(x)=B,则有f(x)=A+αg(x)=B+β（其中α，β为无穷小）于是f(x)±g(x)=(A+α)±(B+β)=(A±B)+(α±β)由定理1可知α土β也是无穷小，再利用极限与无穷小的关系定理，知定理结论成立

二、 极限的四则运算法则 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 则有 证: 因 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 则有 f ( x)  A   , g ( x)  B   (其中  ,  为无穷小) 于是 f ( x)  g ( x)  ( A   )  (B   )  ( A  B)  (   ) 由定理 1 可知    也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若

推论:若lim f(x)= A,lim g(x)= B,且 f(x)≥ g(x)则A≥B.提示： 令 Φ(x)= f(x)- g(x)利用保号性定理证明说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形

推论: 若 lim f ( x)  A , lim g ( x)  B, 且 f ( x)  g ( x), 则 A  B .  ( x)  f ( x)  g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令

定理4.若lim f(x)= A,lim g(x)= B,则有lim[f(x)g(x) = lim f(x) limg(x) = AB提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形推论1.lim[C f(x)l=Clim f(x)（为常数）推论2. lim[f(x)]n =[lim f(x)]n（n为正整数）例2. 设 n 次多项式 Pn(x)= ao +ajx +·+anx", 试证lim Pr(x)=Pn(xo)X→XO证: lim Pn(x)= ao +a lim x +...+ an lim xnx-→XoX-→XoX-→Xo= Pn(xo)

定理 4 . 若 lim f ( x)  A , lim g ( x)  B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f ( x) ]  C lim f ( x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f ( x) ]  [lim f ( x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x   证:   lim ( ) 0 P x n x x

定理5.若lim f(x)= A,lim g(x)= B，且 B0,则有lim/()= limf(x) _4g(x)limg(x)Blim(x3 -1)x3-1例3.limlim(x-5x +3)x-2 x25x+3X→2(lim x)3 -1x=2时分母不为0！(limx)-5limx+3X-23

定理 5 . 若 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 且 B≠0 , 则有 x = 2 时分母不为 0 ! 例3. 3 2 2 2 lim( 1) lim( 5 3) x x x x x       3 2 2 2 2 (lim ) 1 (lim ) 5lim 3 x x x x x x        7 . 3  

定理6.若limxn=A，limyn=B，则有n→8n00(l) lim(xn±yn) = A± Bn-→0(2) lim xnyn = ABn→0(3) 当y,≠ 0且 B±0时, lim =n→ ynB提示：因为数列是一种特殊的函数，故此定理可由定理3，4，5直接得出结论

定理6 . 若 lim x A, lim y B , n n n n     则有 (1) lim ( ) n n n x  y  n n n x y  (2) lim (3) 当 y  0 且 B  0时, n B A y x n n n   lim  A  B  AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论