《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 导数与微分_2-4 隐函数和参数方程求导及相关变化率

第四节隐函数和参数方程求导相关变化率一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率

第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率

一、隐函数的导数若由方程 F(x,y)=0 可确定y是x的函数,则称此函数为隐函数由y=f(x)表示的函数，称为显函数例如,-31=0可确定显函数=/x-1+2y-×-3x=0可确定是×的函数但此隐函数不能显化隐函数求导方法：F(x,Jy)=0两边对x求导（注意y=(x)）dF(x,y)=0(含导数y的方程)dx

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 y  的方程)

例1.求由方程5+2-×-3=0确定的隐函数dyy=y(x)在x=O处的导数dxx=0解：方程两边对x求导C+2y-x-3x)=0dxdy-2dy-1-21x6=0得dxdxdy_1+21x6dx5y4 +2dy因x=0时y=0，故dxx=0

例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d  2 1 6  21x  0 5 2 1 21 d d 4 6     y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数

1在点（2，3V3）处的切线方程例2.求椭圆16解：椭圆方程两边对x求导x+yy'=08A9xX=2x=2416y=3/32V故切线方程为x-2)4V3x+4y-8/3=0即

例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x  y  y  9 2  0  y  2 3 2 3   x y y x 16 9   2 3 2 3   x y 4 3   故切线方程为 3 2 3 y  4 3   (x  2) 即

例3.求由方程x-y+～sin y=0所确定的隐函数的二041阶导数解：应用隐函数的求导方法，得-cosy·y'=Ody1dx2-cosydy-2siny·ydy再对x求导，得COS1dx2(2 - cOs y)dxdxdx-4siny(2 - cos y)3

例3. 求由方程 所确定的隐函数的二 解: 应用隐函数的求导方法,得 1 y   0 2 2 cos d d y x y    再对x求导，得 2 2 d d y x 阶导数 1 cos 2   y y  ( ) d d d d y x x  2 2 cos d( ) d y x   2 2sin (2 cos ) y y y      3 4sin . (2 cos ) y y   

例4. 求 y= xsin x(x>0)的导数解：两边取对数，化为隐式Iny=sinx·lnx两边对x求导sinx'=cosx·Inxxsinxy' = xsinx(cos x· ln x +

例4. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y  1  cos x  ln x x sin x  ) sin (cos l n sin x x y x x x x     

说明：1)对幂指函数y=u其中u=u(x),v=v(x),可用对数求导法求导：In y=vlnuu'y'=v'lnuuuy'=u"('lnu+uy'= u'"lnu.y' +yu'"-l.注意：.1按指数函数求导公式按幂函数求导公式

1) 对幂指函数 y u , u u(x) ,v v( x) , v  其 中   可用对数 ln y  v ln u y y  1  v ln u u u  v  ( ln ) u u v y u v u v      y u u v v   ln   vu u v    1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 求导法求导 :

2有些显函数用对数求导法求导很方便(x -1)(x -2)如，=,V(x - 3)(x - 4)(In|u|)'= "两边取对数In x-1|+ In x- 2|- In|x- 3|- In| x- 4|]n对x求导(x-1)(x-2)2 V(x-3)(x-4)Y

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 如, ( 3)( 4) ( 1)( 2)      x x x x y u u u  (ln )   2 1 ln y  对 x 求导  2 1   y y   4 1 3 1 2 1 1 1       x  x x x 两边取对数 ln x  1  ln x  2  l n x  3  l n x  4   1 1 x 2 1 x  3 1   x  4 1   x

二、由参数方程确定的函数的导数x=p(t)若参数方程可确定一个y与x之间的函数(y=y(t)关系,(t),y(t)可导,且[p(t)]2 +[y(t)2 0,则p'(t)≠0时,有dydy dtdy l y'(t)dxdt dx dt dxq'(t)dty(t)≠0时，有dx dx dt dx 1 _'(t)dydt dydt dyy(t)dt（此时看成x是y的函数）

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t)  0 时, 有  x y d d x t t y d d d d  t t x y d d 1 d d   ( ) ( ) t t       (t)  0 时, 有  y x d d y t t x d d d d  t t y x d d 1 d d   ( ) ( ) t t      (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系

若上述参数方程中(t),y(t)二阶可导,且@(t)±0则由它确定的函数y=f(x）可求二阶导数x = p(t)dy_业(t),可得利用新的参数方程dxp'(t)dxa-[8]o'(t)dxdxDdx2-dtdxy"(tp'(t)-y'(t)p"(t)p'(t)p'2(t)y"(t)p'(t) -y'(t)p"(t)p"3(t)

若上述参数方程中 二阶可导,  2 2 d d x y ) d d ( d d x y x  ( ) 2  t  (t)(t)  (t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t             d d d ( ) d d d y t t x x   t x d d ( ) ( ) d d t t x y      x   (t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 ( ) ( ) ψ t φ t           (t)