《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-2 可分离变量微分方程

第七章第二节可分离变量微分方程可分离变量方程dy= fi(x) f2(y)dxMi(x)M2(y)dx+ N(x) N2(y)dy= 0转化解分离变量方程g(y)dy=f(x)dx

转化 可分离变量微分方程 第二节 解分离变量方程 g( y) dy  f (x) dx 可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y  ( ) d ( ) 0 M1 x M ( y) x  N 1 x N ( y) d y  2 2 第七章

分离变量方程的解法：g(y)dy= f(x)dx设y=β(x）是方程①的解，则有恒等式g((x))p'(x)dx= f(x)dx[g(y)dy= [ f(x)dx两边积分，得设左右两端的原函数分别为G(y),F(x)，则有2G(y) = F(x)+C当G(y)与F(x) 可微且 G'(y)=g()±0 时，说明由②确定的隐函数 =β(x)是①的解.同样,当 F'(x)=f(x)#0时，由②确定的隐函数x=yy也是①的解称②为方程①的隐式通解

分离变量方程的解法: g( y) d y  f (x) dx 设 y＝ (x) 是方程①的解, g( (x))(x) dx  f (x) dx 两边积分, 得 f (x) dx   ① 则有恒等式 ② 当G(y)与F(x) 可微且 G (y)  g(y)  0 时, 的隐函数 y＝ (x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解. 同样, 当 F (x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由②确定

dy=3x2的通解例1.求微分方程= 3x? dx说明：在求解过程中解：分离变量得y每一步不一定是同解变形，因此可能增、『=[3x dx两边积分减解或得In||=x3+CiJ=±e+*+C=±e6即eIn|y|=x3 +In|CC令C=±eJ=Ce+3（C为任意常数）（此式含分离变量时丢失的解y=0）

例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2  两边积分 得 1 3 ln y  x  C ln y x ln C 3   即 1 e C 令C   ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

xydx+(x2+1)dy= 0例2.解初值问题(0) =1CX解：分离变量得dx1+xV+Inl C两边积分得lny=lnVx2+1即y/x2+1=C（C为任意常数）由初始条件得C=1.故所求特解为yVx? +1 =1

例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 x y x  x  y  解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2    两边积分得 即 y x 1  C 2 由初始条件得 C = 1, 1 1 2 y x   ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0)  1

例3.求下述微分方程的通解y'=sin(x-y+l)解：令u=x-y+1,则u'=l-y"l-u'= sin?u故有sec u du = dx即tanu=x+C解得所求通解： tan(x-y+l)=x+C（C为任意常数）

例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 u  x  y 1, 则 故有 u u 2 1   sin 即 解得 tan u  x  C 所求通解 tan(x  y 1)  x  C ( C 为任意常数 ) :

dy=ex+y的通解练习：求方程dx解法1分离变量e-ydy=e"dx积分-e-y =e"+C即(e"+C)e'+l=0(C<0)解法2令u=x+y,则u=l+yu'=l+eu故有(l+e")-eudu福积分du=x+C1+eu1+euu-ln(l+eu)= x +C所求通解：ln(l+ex+y)=y-C（C为任意常数）

练习: 解法 1 分离变量 C y x     e e 即 ( e  ) e 1  0 x y C ( C < 0 ) 解法 2 令 u  x  y, 故有 u u   1 e 积分 u x C u  ln (1 e )   所求通解: y C ( C 为任意常数 ) x y     ln (1 e ) u u u u d 1 e (1 e ) e     积分

内容小结1.微分方程的概念微分方程；阶；定解条件；解；通解：特解说明：通解不一定是方程的全部解例如,方程（x+y)y'=0 有解y=-x 及y=C后者是通解，但不包含前一个解2.可分离变量方程的求解方法分离变量后积分：根据定解条件定常数

内容小结 1. 微分方程的概念 微分方程; 定解条件; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . ( x  y ) y   0 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 阶; 解; 通解; 特解 y = – x 及 y = C

作业P30881 (1),(5), (7), (10);2 (3), (4) ;

作业 P 308 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ;

思考与练习求下列方程的通解(1)(x+xy)dx-(xy+y)dy=0(2) y' + sin(x +y) = sin(x - y)X提示：（1）分离变量dx1+X(2)方程变形为y'=-2cosxsiny→> In|tan=-2sinx+C

思考与练习 求下列方程的通解 : 提示: x x x y y y d 1 d 1 2 2    (1) 分离变量 (2) 方程变形为 y   2 cos x sin y x C y  2sin  2 ln tan