《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章 定积分_5-2 微积分基本公式

第五章第二节微积分的基本公式一、 引例二、积分上限的函数及其导数三、牛顿一莱布尼茨公式

二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式 第五章

一、引例在变速直线运动中，已知位置函数s()与速度函数v(t)之间有关系：s'(t) = v(t)物体在时间间隔[T，T]内经过的路程为2 v(t)dt = s(T2) - s(T))这里s（t）是v(t)的原函数.这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t)  v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( ) d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T    这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

二、积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间a,b|上连续2三f（x）并且设x为[a,b]上的一点。下面考察f(x）在部分区间a,x|上的定积分Oaxb x f(x)dx =" (0)dtO(x)=" f(0)dr(a≤x≤b)显然这个定积分是存在的。另外，这里不同位置的x表示不同的含义。为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号。如果上限xE[a,b]任意变动，那么每定一个x值，定积分都唯一确定一个值，所以它在[α,b]上定义一个函数

x 二、积分上限的函数及其导数 y  f ( x) a b x y O

二、积分上限的函数及其导数定理1.若f(x)EC[a,bl，则变上限函数y=f(x)d(x)= J’f(t)dtd(x在[a,b]上可导，并且它的导数()d=(x),OabxΦ'(x)= -x+h证：Vx,x+he[a,b],则有(++h)-0()=[*th (0)dt- ,5()d hx+h*h f(0)dt= (5) (x<5<x+ h)h1:f(x)eC[a,b]Φ(x+h)-Φ(x)2 = lim f(E)= f(x) Φ'(x)= limhh-0h-0

 (x) x x  h  二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数   x a  (x) f (t) d t 证:  x , x  h [a , b] , 则有 h  (x  h)  (x)  h 1       x a x h a f (t) d t f (t) d t    x h x f t t h ( ) d 1  f ( ) ( x    x  h) h x h x h ( ) ( ) lim 0      lim ( ) 0 f  h   ( x)   f ( x) 定理1. 若 y  f ( x) a b x y O d ( ) ( ) d ( ). d x a x f t t f x x     

说明：1）定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路2）其他变限积分求导：od--10acp(x) f(t)dt = f [p(x)]p'(x)dxJrp(x)d -[, ()d+Jf(t)dtxa= f [(x)]p(x)- f [y(x)ly'(x)

说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导:  ( ) ( ) d d d x a f t t x   f [ ( x) ] ( x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .  ( ) ( ) ( ) d d d x x f t t x    f [ ( x) ] ( x)  f [ ( x) ] ( x)         ( ) ( ) ( ) d ( ) d d d x a a x f t t f t t x  

dt00例1. 求 limcoSxx-02大-cos-x警_ imx.(-sinx)e解：原式2e2xx-0确定常数α，b,c的值，使例2.石ax-sinx00=c (c±0)limx-0('n(l+t?)d t解:：x→0时,ax-sinx→0,c±0,:b=0a-cosxa-cosx整 lim= lim原式#=C2x-→0 ln(1+x2)x-0xc,故 α=1.又由1-cosx～x2,得 =说明

e ( sin ) 2 cos x x    例1. 求 解: 原式 0 lim    x 0 0 2x 2e 1  说明 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解:  b  0. 原式 = c ≠0 , 故 a  1. 又由 ～ , 得 . 2 1 c  洛 洛

例3. 设f(x)在[0,+co)内连续,且f(x)>0, 证明F() 1 s(0d/Ts 0)d只要证?F'(x)> 0在(0,+80)内为单调递增函数Of(x)/f(t)dt-f(x)ftf(t)dt证：F(x)=(Jf(t)dt)?(x)J(x-t)f(t)dt - f(x). (x-)f(E)x>0(Jof(t)dt )?(Jaf(t)dt )?(0<≤<x)F(x)在O,+80)内为单调增函数

 f x t f t t x ( ) ( ) d 0   例3. 证明 在 内为单调递增函数 . 证:   2 0 f (t) d t x  x f x f t t x ( ) ( ) d 0    2 0 f (t) d t x  f x f t t x ( ) ( ) d 0  (x  t)  0 只要证 F ( x )  0    2 0 f (t) d t x  f (x)  ( x   ) f ( ) x (0    x)

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三、牛顿 – 莱布尼茨公式

三、牛顿－莱布尼茨公式定理2.设F(x)是连续函数 f(α)在[α,b]上的一个原函数，则(~f(x)dx= F(b)-F(a）（牛顿-莱布尼茨公式)证：根据定理 1，（f(x)dx是f(x)的一个原函数，故F(x)= ff(x)dx+C令x=a,得C=F(a),因此(f(x)dx = F(x)- F(a)再令x=b,得记作[(m)冶当F(0)]b[f(x)dx = F(b) - F(a)O

三、牛顿 – 莱布尼茨公式 f (x) dx F (b) F (a) b a    ( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a    ( ) ( ) d 因此 f (x) dx F (x) F (a) x a    得 记作 定理2. 函数 , 则 或

x?dx.例4.计算0解：-1dx例5.计算2解：二nln1-ln2=-ln2注：微积分基本公式中的F(x）必须是f(x）在[a,b|上的原函数

例4. 计算 解: 1 0 例5. 计算 解: 1 2   注: 微积分基本公式中的F(x)必须是f(x)在[a,b]上的原函数