《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章课件_第二章第四节微分

第二章第四节函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分的计算与应用HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页返回下页结束

第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分的计算与应用

引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响边长由xo变到xo+△x，问薄片面积改变了多少？△S = (xo + △x)? - xo(x)= 2xoAx +(△x)XoAxAx△S ~ 2xo△xXoAxXo称为函数y=x在x。的微分HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问薄片面积改变了多少? 0 x x x x 0 x x 0 2 (x) 称为函数 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 y x = 0 在 x 的微分

一、定义：若函数y=_f(x)在点 xo 的增量可表示为△ y= f(xo + △x) - f(xo) = A△x +o(△x)（A为不依赖于Ax的常数）则称函数 =f(x)在点xo可微A△x称为 f(x)在点xo的微分记作dy或df即dy = A△xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

的微分 一、定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 称为 记作 即 dy = Ax = Ax + o(x) 在点 可微 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Ax

定理：函数V=f（x）在点xo可微的充要条件是y= f(x) 在点xo处可导, 且 A=f'(xo)即 dy= f'(xo)△x证：“必要性”已知 y=f(x)在点xo可微,则 y= f(xo +△x) - f(xo) = A△x + o(△x)o(△x)= lim(A+limAxAx->0 △xAx-0故=f(x)在点xo的可导,且 f'(xo)= AHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在点xc可微的充要条件是定理：函数 y=f(x） 处可导,且 A= f(xo)y=f() 在点即 dy= f'(xo)△x已知 y=f(x)在点 xo的可导“充分性Ay= f'(xo)limAr-→0 △xAy=f'(xo)+α ( lim α=0)Ax△x-0故 Ay= f'(xo)Ax+α△x = f'(xo)Ax+o(Ax)即 dy= f'(xo)△xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例. 求y= x3,在x =1时,△x分别等于0.01和0.02时的增量与微分HIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 y x x , 1 x = =  求 在 时， 分别等于0.01和0.02时的增量与微分

二、行微分的几何意义切线纵坐标的增量y= f(x)dy = f'(xo)△x = tanα · △xXXoXo + xHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

二、微分的几何意义 dy = f (x )x 0 x + x 0 x y o y = f ( x)  0 x y dy = tan  x 切线纵坐标的增量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、微分运算法则设u(x),v(x)均可微，则2. d(Cu) = Cdu(C为常数)1. d(u ± v)= du±dyvdu -udy3. d(uv) = vdu + udy4. d(=)V￥（05.复合函数的微分y= f(u),u=p(x)分别可微则复合函数 y=f[β(x)]的微分为dudy = y dx = f'(u) p'(x)dxdy = f'(u)du微分形式不变HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

三、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du  dv = vdu + udv 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分在近似计算中的应用△y = f(xo)△x +o(△x)当△x|很小时，得近似等式y= f(xo +△x)- f(xo) ~ f'(xo)△xf(xo +△x) = f(xo)+ f'(xo)△x令 x = Xo + △xf(x) = f(xo)+ f(xo)(x - xo)使用原则：：1)f(xo),f'(xo)好算;2）x与xo靠近，HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

微分在近似计算中的应用 ( ) ( ) 0 y = f  x x + o x 当 x 很小时, ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x  f (x )x 0 f (x + x)  f (x ) + f (x )x 0 0 0 x = x + x 令 0 使用原则: 1) ( ), ( ) ; f x0 f  x0 好算 2) . x 与x0 靠近 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x  f x + f  x x − x 得近似等式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别当 xo=0，x很小时f(x) = f(O)+ f'(O)x：（x很小)常用近似公式：(1) (1+x)~ ~1+αx证明：令 f(x)=(1+x)°得 f(0)=1,f(0)=α：当|x|很小时，(1+x)~～1+αxsinx ~ x2(3) e* ~ 1+x(5) ln(1+ x) ~ x4tan x ~ xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

特别当 x 0 , x 0 = 很小时, f (x)  f (0) + f (0)x 常用近似公式: 1+x ( x 很小) x x x 1+ x 证明: 令  f (x) = (1+ x) 得 f (0) =1, f (0) =  当 x 很小时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束