《数学分析》课程教学课件（讲稿）微积分学基本定理

S5微积分学基本定理本节将介绍微积分学基本定理，并用以证明连续函数的原函数的存在性。在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法。一、变限积分与原函数的存在性二、换元积分法与分部积分法三、泰勒公式的积分型余项邀回后页前页

前页 后页 返回 §5 微积分学基本定理 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并 用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积 分法与分部积分法. 三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法 返回

一、变限积分与原函数的存在性设f在[a,b]上可积，则"xi[a,bl，f在[a,x]上可积. 称F(x)=o f(t)dt，xi [a, bl 为变上限的定积分;类似Y (x)=o f(t)dt 为变下限的定积分。称定理9.9（变上限定积分的连续性）若f 在[a,b 上可积, 则F(x)=o f(t)dt 在[a, b]上连续证"xI[a,b],若x+Dxi [a,b]，则后页邀回前页

前页 后页 返回 一、变限积分与原函数的存在性 积分; 类似 称 为变下限的定积分. 定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 ) 证 则 为变上限的定

x+DxDxAF -0"" f()dt - 0 f()dr -0""f()dr.因 f 在[a,b]上有界,故M,lf(t)/f M,xi [a,b]x+Dx于是/AF/-(1)dM/Arl,从而lim AF =0. 由x 的任意性, f 在[a, b]上连ArRO定理9.10（微学基本定理)若 f 在 [a, b] 上连续, 则 F(x)=0 f(t)dt 在[a,b]上处处可导，且ddro r()d - (x)xi (a,b).Fdx)=后页巡回前页

前页 后页 返回 于是 定理9.10（微积分学基本定理) 若 f 在 [a, b] 上连续, 上处处可导,且 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连 续

证 "xi [a,bl,当Ar! 0,且x+Ari[a,bl时AF1x+Anf(t)dt = f(x+qDx), 0 tq ± 1.ArAr Q由于f在x处连续，因此F dx) = lim f(x +q Axr)= f(x).AXR(注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似乎不相干的概念之间的内在联系，也证明了“连续函数必存在原函数”这个重要结论，后页巡回前页

前页 后页 返回 证 由于 f 在 x 处连续，因此 注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 续函数必存在原函数”这个重要结论. 乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连

注2由于「的任意两个原函数只能相差一个常数所以当f为连续函数时，它的任一原函数 F必为F(x)= 0 f(t)dt+C.用x=a代入,得F(a）=C；再用x=b代入,则得 f(t) dt - F(b)- F(a).设f在[a,b]上可定理9.11（积分第二中值定理）积.g(x)3 0, 则存(i)若函数g在[a,bl 上单调减，程 ri [a, b),使 ir(x)g(x)dx-g(a) f(x)dr.后页巡回前页

前页 后页 返回 注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, 定理9.11(积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可 积. (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减, 且 则存 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为

g(x)3 0, 则存(ii)若函数g在[a,bl 上单调增，程hi [a, bl, 使 0 f(x)g(x)dx= g(b) f(x)dx.,证 这里只证(i),类似可证(ii).证明分以下(1) 茬意分割 T: a=x<x,<x<x,=b,nh1-0f(x)g(x)dr-a 0Q f(x)g(x)dx""ai=1+Q. (x)I g(x)- g(x.1)]dx2i-1a g(xi-)o* f(x)dx =11+ 12.i-1(2) 因/ f(x)/ L, xI [a,bl, 故后页巡回前页

前页 后页 返回 (ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 则存 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下 五步: (1) 对任意分割 T：

0" f(x)I g(x)- g(xi.-)ldx[1. /=1a* 1 f(x)/μg(x)- g(x.1)ldxt La wjAx.i=i=1因g可积,故 sT:a=x,<x,<xx<x,=b,使a wiax,<=p lllte.i=1(3) 设 F(x)-0 f(t)dt, 则I, =a g(x.)[F(x,)- F(xi.))i-1g(x)[F(x)- F(x,)1 + xo+ g(xn-)[F(x)- F(xn-))后页巡回前页

前页 后页 返回

= F(x )[g(x))- g(x))I+ xo+ F(xn-)Ig(xn-2)- g(xn-1)I+ F(xn)g(xn-1)n- 1a F(x)lg(x-)- g(x )I+ F(b)g(xn-)i-l由对 g的假设, g(xn-1)3 0, g(x.1)-g(x,)2 0. 记m = min ( F(x)}, M = max ( F(x)),xi (a,b)xi (a,b)n-1则 I, f Ma Ig(x:1)- g(x,)I+ Mg(x-1) =Mg(a),i-1n-1I, 3 ma Ig(x,.)- g(x)I+mg(x.) =mg(a),i-1后页巡回前页

前页 后页 返回

于是 mg(a) I, Mg(a)(4) 综合 (2), (3), 得到mg(a)- e f I +I, f Mg(a)+e.令e ? 0, 便得 mg(a)f I f Mg(a)(5)若 g(a)=0,则 1- f(x)g(x)dx=0, 此时任取xi [a, bl, 满足 0 f(x)g(x)dx-g(a)o f(x)dx若g(a)>0, 则 m ft M. 由 F(x)-0 f(t)dig(a)后页巡回前页

前页 后页 返回 (4) 综合 (2), (3), 得到

的连续性，存在xi[a,bl,使F(r)-0 f(t)dt=-g(a) f(x)g(x)dx= g(a)g r(x)dx.即推论 设 f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调,则存在x1[a,b],使0 f(x)g(x)dx= g(a)0 (x)dx + g(b)0 r(x)dx.后页巡回前页

前页 后页 返回 推论 即