《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分的性质

S4 定积分的性质本节将讨论定积分的性质，包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理，这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具一、定积分的性质二、积分中值定理前页后页返回

前页 后页 返回 §4 定积分的性质 一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质, 包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理, 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 二、积分中值定理 返回

一、定积分的性质性质1若f在「a,bl上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积,且[kf(x)dx=k[" f(x)dx.证 记 J=[' f(x)dx. 由于 在[a, b]上可积, 故V>0,38>0,当|T<8时,对一切5, [x-1,x,l,82(5,)Ax,-A1+1i=1从而后页返回前页

前页 后页 返回 [ , ] ( )d ( )d . b b a a 在 上也可积，且 a b k f x x k f x x =   证 ( )d . b a 记 J f x x =  由 在 上可积 故 f a b [ , ] , 一、定积分的性质 1 0, 0, [ , ], T x x i i i           当 时,对一切 − 1 ( )Δ . 1 n i i i f x J k   = −  +  从而 性质1 若 f 在 [ a,b ] 上可积，k 为常数, 则 k f

nnEkf(5;)Ax;-kJ -|klEf(5)Ax; - Ji-1i-18 0,38 >0, 当 T<8时,V5, =[xi-, x,l, i=1,2,.,n,前页后页返回

前页 后页 返回 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i k f x kJ k f x J   = =   − = − 因此 kf a b 在[ , ] , 可积 ( )d ( )d .   = ba ba 且 kf x x k f x x 性质 2 若 在 上可积 f g a b , [ , ] , 则 在 上 f g a b  [ , ] 可积, 且 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x  =     证 1 2 ( )d , ( )d . b b a a J f x x J g x x = =    记 于是 0,   1 0, [ , ], 1,2, , , T x x i n i i i         = 当 时， − . 1 k k    +

八5)(5,)4号i=1从而E(f(5,)±g(5,)1Ax, -(J, ± J,)i=1Ef(5,)Ax, -J, +Eg(5,)Ax,-J,≤i=1888二22因此，f±g在「a,bl上可积,且返回前页后页

前页 后页 返回 1 1 ( )Δ , 2 n i i i f x J   =  −  2 1 ( )Δ . 2 n i i i g x J   =  −  从而 1 2 1 [ ( ) ( ) ]Δ ( ) n i i i i f g x J J   =   −  1 2 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i f x J g x J   = =  − + −   . 2 2    + =  因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且

['(f(x)±g(x)dx = [' f(x)dx± [' g(x)dx.性质3若f,g在[a,b]上可积，则fg在[a,b]上也可积。证 因f,g在[a,b]上可积,故在[a,b]上都有界,即 3M >0, Vxe[a, b], f(x)/≤M, g(x) ≤M8V>0,存在分割T,使,Ax,又存在分2MT8割T"，使w'Ax2MT"后页返回前页

前页 后页 返回 性质3 若 f g a b f g a b , [ , ] [ , ] 在 上可积，则 在 上 证 因 在 上可积，故在 上都有界, f g a b a b , [ , ] [ , ] 即       M x a b f x M g x M 0, [ , ], ( ) , ( ) . 0, , Δ ; 2 f i i T T x M    存在分割 使 又存在分       Δ . 2 g i i T T x M  割 ，使      ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x  =     也可积

令T=T'+T"（T表示把T'与T"的所有分割点合并而成的新分割，则fs = sup / f(x')g(x')- f(x")g(x") /x,x"eA,≤sup ( I g(x)// f(x)-f(x")l+/f(x")llg(x)-g(x")// x,x" eA,<Mo, +Mo?.于是EofAr,sMEoAx,+MEoAr,TTT≤mEo, Axr, +mEo'ArTHT!后页返回前页

前页 后页 返回 令T = T + T ( T T T 表示把   与 的所有分割点合 并而成的新分割 ), 则 sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,  Δ  fg i i  = −  f x g x f x g x x x        − sup ( ) ( ) ( )  g x f x f x    + −  f x g x g x x x ( ) ( ) ( ) ,      Δi . g i f  Mi + M 于是    +  T i g i T i f i T i fg i x M  x M  x       +  T i g i T i f M i x M  x

88+ M0,[a,cl与[c,bl上分割T'与T",使得后页返回前页

前页 后页 返回 . 2 2     + = M M M M f a c c b 在 与 上都可积. 此时且有 [ , ] [ , ] ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = +        0, [ , ] [ , ] , a c c b T T 与 上分割 与 使得   因此 f g 在 [ a, b] 上可积. 性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b), 证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则

8SZa,ArZaoAr0,3T,使の,Ax,<6.在T上加入分点c得到新的分割T*T由S3习题第1题，知道后页返回前页

前页 后页 返回 . 2 , 2           T i i T ixi x 令 它是 的一个分割 T T T a b = + , [ , ] ,  =   +   .  T i i T i i T ixi x x (必要性) 已知 在 上可积 则 f a b T [ , ] , 0, ,     因此, f 在 [a, b] 上可积. Δ . i i T 使   x  在T上加入分点 c 得到新的分割 T .  由§3习题第1题, 知道

Zo'Ar'-Zo,sx,<6.1分割 T*在[a,cl 和[c,b] 上的部分,分别构成对[a,c]和[c,bl 的分割,记为T'和T",则Eo,Ar,sEo,Ar <e, EoAr'sEo,Ai <6.因此，f在[a,cl 与[c,b]上都可积若f在[a,bl 上可积,由必要性证明,若分割T使点c为其中一个分点,则T在[a,cl的部分T'构成对[a,cl的分割,在[c,bl的部分 T"构成对[c,bl的后页返回前页

前页 后页 返回 Δ Δ . i i i i T T    x x       分割 在 和 上的部分 分别构成对 T a c c b [ , ] [ , ] ,  Δ Δ , Δ Δ . i i i i i i i i T T       x x x x                   c T a c T 为其中一个分点, [ , ] 则 在 的部分  构成 对 的分割,在 的部分 构成对 的 [ , ] [ , ] [ , ] a c c b T c b  因此，f 在 [a, c] 与 [c, b]上都可积. 若 f 在 [a, b] 上可积,由必要性证明,若分割 T 使点 [ , ] [ , ] , a c c b T T 和 的分割,记为 和 则  

分割,且 Ef(5,)Ax, =Ef(5)Ar, +Ef(5,)AxT令T→0,则T→0,T"→0,即得[' f(x)dx =, f(x)dx + f' f(x)dx注若规定a>b时 [" f(x)dx=-{ f(x)dx, a=b时, f(x)dx=0, 则对 a, b, c 的任何大小顺序, 恒有I, f(x)dx =I, f(x)dx+ f' f(x)dx.性质5 若f在[a,b]上非负、可积,则「f(x) dx≥0证若 J =[’ f(x) dx0, 38 >0, [T<8,后页返回前页

前页 后页 返回 ( )Δ ( )Δ ( )Δ . , i i i i i i T T T 分割 且 f x f x f x         = +  令 则 即得 T T T → → → 0, 0, 0,   ( )d ( )d ( )d . b c b a a c f x x f x x f x x = +    ( )d ( )d ( )d . b c b a a c f x x f x x f x x = +    性质5 [ , ] , ( ) d 0. b a 若f a b f x x 在 上非负、可积 则   证 ( ) d 0. b a 若 J f x x =   对 −     J T 0, 0, ,   注 若规定 时 a b  ( )d ( )d , b a a b f x x f x x = −   a b = 时 则对 的任何大小顺序 恒有 a b c , , , ( )d 0, b a f x x = 