《数学分析》课程教学课件（讲稿）具有某些特性的函数

S4具有某些特性的函数本节将着重讨论函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性。一、有界函数二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数前页返回后页

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一、有界函数定义1设f定义在D上若MeR,VxeD,f(x)≤M,则称f在D上有上界，若LeR,VxED,f(x)≥L,则称f在D上有下界；若MER,VxED,f(x)≤M,则称f在D上有界易证f在D上有界一f在D上既有上界又有下界若VMeR,日x,eD,f(x)>M,则称f在D上无上界;后页返回前页

前页 后页 返回 一、有界函数 定义1 设 f 定义在D上. 若 则称 在 上有上界；      M x D f x M f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有下界；      L x D f x L f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有界      M x D f x M f D R, , ( ) , . 易证 f 在D上有界  f 在D上既有上界又有下界. 若 则称 在 上无上      M x D f x M f D R, , ( ) , 0 0 界；

若VLeR,3x,ED,f(x,)M,则称f在D上无界例1求证:f(x)=tanx在[0,)上无上界,有下界证 L=0, 则 Vx e[0,号), (x)≥ L, 因此F 在[0, ) 上有下界. VM e R, 令x, =arctan(M +1),则 x, =[0, ),且tanx,=M+1>M,因此f在[0,]上无上界，后页返回前页

前页 后页 返回 若 则称 在 上无界      M x D f x M f D R, , ( ) , . 0 0 π : ( ) tan [0, ) , . 2 例1 求证 f x x = 在 上无上界 有下界 π [0, ) . 2 上有下界   = + M x M R, arctan( 1), 令 0 π [0, ) . 2 上无上界 π 0 [0, ), ( ) , 2 证 L x f x L =    ，则 因此 f 在 0 0 π [0, ), tan 1 , 2 则 x x M M  = +  且 因此 f 在 若     L x D f x L f D R, , ( ) , 0 0 则称 在 上无下界；

例2设函数f(x),g(x）是D上的正值有界函数求证: supif(x)g(x))≤ sup(f(x))supig(x)XEDxeDXED证 VxeD, f(x)≤supif(x)),g(x)≤ supig(x))因此 f(x)g(x)≤ supuf(x))supig(x),由x的任意性，可知 supif(x))supig(x)是(f(x)g(x)的一个上界因此sup(f(x)g(x)≤ supif(x)supig(x)XEDXEDXED后页返回前页

前页 后页 返回 g(x)  sup{g(x)}, 因此 f x g x f x g x ( ) ( ) sup{ ( )}sup{ ( )},  由 x f x g x 的任意性, sup{ ( )}sup{ ( )} 可知 是{ f (x)g(x)}的一个上界, sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 因此  证    x D f x f x , ( ) sup{ ( )}, : sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 求证  例2 设函数 f x g x D ( ), ( ) . 是 上的正值有界函数

例3 设 f(x), g(x)在 D 上有界,证明:infuf(x)+ g(x) ≤ inf(f(x)) + supig(x)xEDXEDxED证 V>0,日x, ED,f(x,)<inf(f(x)+.XED又 g(x,)≤ supig(x)), 故XEDf(x,)+ g(x,)<inf(f(x)) + supig(x)) + 8.xEDXED因此inf(f(x)+ g(x))≤ f(x,)+ g(x)xED≤inf(f (x)) + supig(x))XEDXED前页后页返回

前页 后页 返回 例3 设 f x g x D ( ), ( ) 在 上有界,证明: inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x    +  + 证 0 0 0, , ( ) inf{ ( )} . x D   x D f x f x       + 0 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x  又  故 0 0 ( ) ( ) inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x f x g x    +  + + 因此 0 0 inf{ ( ) ( )} ( ) ( ) x D f x g x f x g x  +  + inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D f x g x    +

二、单调函数定义2设f是定义在D上的函数若Vx,x,eD,当xf(x,)时,称f为严格减函数后页返回前页

前页 后页 返回 二、单调函数    1 2 1 2 若 x x D x x , , , 当 时 (i) ( ) ( ), 有 f x f x f D 1 2  则称 为 上的增函数; 特别有 f x f x f ( ) ( ) , . 1 2  时 称 为严格增函数 (ii) ( ) ( ), 有 f x f x f D 1 2  则称 为 上的减函数; 特别有 f x f x f ( ) ( ) , . 1 2  时 称 为严格减函数 定义2 设 f 是定义在 D上的函数

不难知道,若 f(x)和g(x)是正值严格增的,则f(x)g(x)也是正值严格增的例4 任意 ne N+,J2zn-1=x2n-l 在R上严格增;J2n=x" 在 R,上严格增,在 R_上严格减证由yi=x在R,上为正值严格增,可知 yz=yiyi在R，上亦正值严格增．由归纳法,若已证y.在R上为正值严格增，可知yn+i=yiy,在R,上亦正值严格增.后页返回前页

前页 后页 返回 证 由 y x y y y 1 + 2 1 1 = = 在 R 上为正值严格增,可知 不难知道,若 f x g x ( ) ( ) 和 是正值严格增的,则 f x g x ( ) ( ) 也是正值严格增的. 例4 2 1 N , R 2 1 n n y x n − 任意  = + − 在 上严格增; 2 2 + R R n n y x 在 上严格增,在 上严格减. = − 上为正值严格增,可知 y y y n n +1 1 + = 在 R 上亦正值 在 R+ 上亦正值严格增. 由归纳法,若已证 n R+ y 在 严格增

若xx,2n-1. 这就证明了y2,在R上严格减,而y2-在R_上严格增若x≤0<x,或x<0≤x,则x2n-1 ≤0<x2n-I 或 x2n-1 <0≤x2n-1这证明了y2n-在R上严格增后页返回前页

前页 后页 返回 1 2 2 1 若 x x x x    −  − 0, 0 , 则 于是 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) , n n n n x x x x − − −  − −  − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , R n n n n n 即 x x x x y .这就证明了 在 − − −   上严格减,而 y2 1 n 在 R 上严格增. − − 1 2 1 2 若 x x x x     0 0 , 或 则 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 0 n n n n x x x x − − − −     或 ， 这证明了 y2 1 n− 在 R 上严格增

例5易证函数v=[xl在R上是增函数,但非严格增.V321-10-1-2前页后页返回

前页 后页 返回 例5 易证函数 y x = [ ] R , 在 上是增函数 但非严格 增. x y O 1 1 −1 −1 2 2 −2 −2 3 4 3

定理1.2 设 y=f(x),xe D为严格增函数,则 f必有反函数f-l,且 f-在其定义域f(D)上也是严格增函数类似地，严格减函数f必有反函数f-,且f-在其定义域上也是严格减函数证设 f在D上严格增，则VyEf(D)只有一个xeD, 使 f(x)= y事实上,若x,<x,,使f(x)=y=f(x,),则与f后页返回前页

前页 后页 返回 有反函数 f −1 ,且 f −1在其定义域 f (D)上也是严格 增函数. 定理1.2 设 y f x x D f =  ( ), , 为严格增函数 则 必 1 1 , , f f f 类似地 严格减函数 必有反函数 − − 且 在其 定义域上也是严格减函数. x D f x y  = , ( ) . 使 证 设 f D y f D 在 上严格增, ( ) 则   只有一个 1 2 1 2 事实上,若 使   = = x x f x y f x , ( ) ( ), 则与 f