《数学分析》课程教学课件（讲稿）方程的近似解

*S7 方程的近似解在本节中，我们主要讨论方程f(x)=0 的数值解（近似解）.求方程解的方法主要有两种：解析法与数值法.一般来说，解析法是优先考虑的，其原因是所得的解是精确的.问题在于不是所有的方程都能用解析法的.法国数学家伽罗瓦（Galois）在19世纪就证明了形如a,x" +an-x"-' +L +a, =0 (a, 1 0)后页巡回前页

前页 后页 返回 *§7 方程的近似解 在本节中，我们主要讨论方程 f (x) = 0 的数值解 世纪就证明了形如 能用解析法的. 法国数学家伽罗瓦（Galois）在 19 是所得的解是精确的. 问题在于不是所有的方程都 数值法. 一般来说，解析法是优先考虑的，其原因 (近似解). 求方程解的方法主要有两种：解析法与 返回

的代数方程，当 n35 时一般不存在求解公式.因此对于一般的方程，我们必须寻求其它的求解方法，下面介绍一种数值解法一一牛顿切线法.数值解法的详细研究，将由专门课程“数值分析”“算方法"去完成，这里所要考虑的函数满足，(i)在[abl上二阶可导(ii) f dx)×f x) / 0 , f(a)f(b)<0后页巡回前页

前页 后页 返回 的代数方程，当 时一般不存在求解公式 . 因此对于一般的方程, 我们必须寻求其它的求解 这里所要考虑的函数满足: “计算方法”去完成 . 值解法的详细研究，将由专门课程 “数值分析” 或 方法, 下面介绍一种数值解法——牛顿切线法. 数

基本思想是：构造一收敛点列(x,,使得x=limxnRY恰为f(x）的零点，故当n充分大时，x，可以近似地替代x.因为fdx)0，fdx)在[a,b]上连续,所以m = min.fdx)> 0xi la,b]下面分四种情形进行讨论。1° 设 fdx)0,故有 f(a)>0, f(b)<0.此时 f(x)在(a ,b)内有零点x,并且是唯一的后页巡回前页

前页 后页 返回 下面分四种情形进行讨论

因 f数x)>0,所以f(x)为[a，bl上的严格凸函数故f(x)> f(a)+ fda)(x- a), xi (a, bl. (1)设 x,=a,y=f(x)在点(a,f(a)的切线与x轴的V交点的横坐标则为a-x-)x=a-fda)fdx,)hofaXxx因切线在曲线的下方,故x,I（xo,x)，且由(1)式可后页巡回前页

前页 后页 返回 交点的横坐标则为 且由(1)式可 故

知 f (x)>0. 于是只要用[xi,bl 代替[a,bl,重复谜步骤，即设曲线的切线与x轴交点的横坐标为36X=xf(xn-1)一般地x,=X-1n = 1, 2, L .fdxn-)易知(x,递增有上界 b，故 limx,=x存在.由nRY武得f(x)x=xfdx)巡回前页后页

前页 后页 返回 易知{ xn }递增有上界 b，故 存在. 由 上 知 f (x1 )> 0. 于是只要用[ x1 , b] 代替 [a, b], 重复 述步骤 上 , 即设曲线的切线与 x 轴交点的横坐标为 式得

推得 f(x)=0.最后来估计x,-x.由中值定理f(x,)= f(x,)- f(x)= fah)(x, -x), x, <h <x,因而f(x,)x）x.-x =fdh)m其它三种情形可以类似进行讨论，在此仅以图来示意.巡回后页前页

前页 后页 返回 其它三种情形可以类似进行讨论，在此仅以图来 因而 示意

2° fdx)>0, f 或x)> 0,且 f(a) 0.ab xx, x3° fdx)>0, f x)0.xxbaXxbxa4° fdx)0, f(b)<0.巡回前页后页

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注意：这四种情形本质上是相同的.在解题时应分不同情形，选取点x.是a还是b.而误差公式f(x.)x,-xltm对各种情形都是有效的例用牛顿切线法求方程x-22-4x-7=0的近似解，使误差不超过0.01解 设 f(x)= x3 - 2x2 - 4x- 7,则巡回前页后页

前页 后页 返回 注意: 这四种情形本质上是相同的. 在解题时, 应 对各种情形都是有效的. 的近似解，使误差不超过0.01. 例 解 式 区分不同情形，选取点 是 a 还是 b. 而误差公

f dx) = 3x2 - 4x - 4 =(3x + 2)(x - 2),fx) = 6x - 4.易见x=-2为极大值点，x=2为极小值点，并且a 20因为lim f(x)=-￥, lim f(x)=+￥,XR-YXR+Y所以不难验证f(）=0有且只有一个根注意到 f(3)=-100,因而存在后页巡回前页

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x i (3, 4), f(x)=0. 由于在[3, 4]上有fdx)>0, f或x)>0,因此属于情形 2°B10从点B(4.9）作切线1-2024x交x轴于(x,0),则-10x =4. f(4)-20f94)f(x)》3.68, [x-x|428m巡回后页前页

前页 后页 返回 因此属于情形 . 4 x1 -2 O 2 -20 -10 10 B