《数学分析》课程教学课件（讲稿）n重积分

*s7 n重积分由于三维以上的空间中区域的体积没有直观的几何意义，因此本节先定义n维长方体的体积，再定义n维区域的体积，最后建立起n重积分的理论与计算方法。一、n重积分的物理背景二、 n重积分的定义三、n重积分的计算巡回后页前页

前页 后页 返回 *§7 n 重 积 分 由于三维以上的空间中区域的体积没有 直观的几何意义, 因此本节先定义 n维长方 体的体积, 再定义 n维区域的体积, 最后建 立起 n重积分的理论与计算方法. 一、n 重积分的物理背景 二、 n 重积分的定义 三、 n 重积分的计算 返回

一、n重积分的物理背景设物体V中点生标为(Xi,,), V 中点生标为(X2,J2,z2),它们的密度函数分别为 r,(X1,J1,z) 与r 2(X2,2,2),且它们之向的引) 力系数为1. 下面用元法求它们之向的引力.为此,在V 中取质量微元 r,dx,dy,dz1,在 V,中取质量微元 r ,dx,dy,dz2,由万有引力定律知道,V的微元对 V,的微元的引力在x轴上的投影为回前页后页

前页 后页 返回 一 、n 重积分的物理背景 设物体 中点坐标为 中点坐标为 , 且它们之间的引力系数为1. 下面用 微元法求它们之间的引力. 为此, 在 中取质量微 万有引力定律知道, 的微元对 的微元的引力 在 x 轴上的投影为 它们的密度函数分别为 与 元 在 中取质量微元 由

dF, ="r",(x - x,)dx,dy,dz,dx,dy,dz,r3其中 r =/(x, - x2)~ +(y, - y2) +(z1 - z2).于是 V与 向的引力在X轴上投影的值为mm(xJp)r,(,z,,)x -)dxdy,d,dx,dyd2,F,=0000r3V这个6 重积分是在由 (X1,J1,31,X2,J2,z2)构成的六维区域 V =V'V, 上的积 分. 引 力在y 轴和 z轴上的投影也是类似的积分.这就是n重积分的应用背景后页邀回前页

前页 后页 返回 其中 .于是 与 间的引力在x轴上投影的值为 这个6重积分是在由 构成的六维 区域 上的积分. 引力在y轴和z 轴上的投 影也是类似的积分.这就是 n重积分的应用背景

二、n重积分的定义先定义n维区域的体积1.最简单的n维区域是n维长方体V=[a,,b,]'[az,b,]' L "[an,b,l,规定 V 的体积 为 (b, - a,)(b, - a,)L (b, - an),2.仿照可求面积概念那样建立n维区域G的可求体积概念.用发差G的有限个n维长方体体积之和的下确界定义为G的外体积,用G所包含的没有么共内点的有限个n维长方体体积之和的上确界定义后贡巡回前页

前页 后页 返回 二、n重积分的定义 先定义 n 维区域的体积. 1.最简单的 n 维区域是 n 维长方体 规定 的体积为 2. 仿照可求面积概念那样建立n维区域 的可求体 积概念. 用覆盖 的有限个n维长方体体积之和的 内点的有限个 n 维长方体体积之和的上确界定义 下确界定义为 的外体积, 用 所包含的没有公共

为G的内体积,外体积与内体积相等的区域称为可求体积的可以证明n维单纯形x, 3 0,x, 3 0,L ,x, 3 0, x, +x, +L +x, f h和 n维球体x+x2+L +x, + R的是可求体积的3.设n元函数f(xi,x,Lx)定义在n维可求体积的区域V上.照例通过对V的分割、近似求和、取后贡滋回前页

前页 后页 返回 为 的内体积, 外体积与内体积相等的区域称为可 求体积的. 可以证明 n 维单纯形 和 n 维球体 的是可求体积的. 3. 设n元函数 定义在n 维可求体积 的区域 上.照例通过对 的分割、近似求和、取

极限的过程，便得到n重积分：478(1)I =o L o f(x,L x,)dx,L dxnV4.n重积分也有与二重积分相仿的结论,例如：若f(x,Lx,)在有界闭区域 V 上 连续,则 n 重积分(1)必存在后页巡回前页

前页 后页 返回 极限的过程,便得到 n重积分： 4. n 重积分也有与二重积分相仿的结论,例如: 若 在有界闭区域V上连续, 则n 重积分 (1)必存在

三、n重积分的计算计算n重积分的办法是把它化为重数较低的积分来计算.如当积分区域是长方体[a,,b,]' [a,,b,]I" L" [an,b,]时,则有I =O' dxo'dx,L f(x,L,x,)dx.当V由一组不等式a, f x, fb, a,(x))f x, fb,(x,),L后页巡回前页

前页 后页 返回 计算 n 重积分的办法是把它化为重数较低的积分来 计算.如当积分区域是长方体 时,则有 当 V 由一组不等式 三、 n 重积分的计算

a,(x,L ,xn-1)f x, f b,(x,,L ,xn-1)表示时,则有b(x)b,(x,,L,xu-1)f(x,,L ,x.)dx,dx=dx,o0XLx1设变换i x, =x,(xi,x2,L ,x,),I x, = x(xpx2,L ,,),T:LLLLLLLL1x, =x,(x1,x2,L x,),把n维x,x,LX,空向区域V一对一地映射成n维邀回后页前页

前页 后页 返回 表示时,则有 设变换 把 n 维 空间区域 一对一地映射成 n 维

X, x,L X,空向中的区域 V, 且在 VI 上的数行列式x,IxXLIxn1x;1x2Ix2Ix2x2J = 1(x,x,L x,)1x,0,Ix;1x2(x,x2,L x,)MMMIx.Ix,Ix1xn[1x,x2则成立下列n重积分的换元公式后贡巡回前页

前页 后页 返回 空间中的区域V, 且在 上的函数行列式 则成立下列 n 重积分的换元公式：

6 78I =d o f(x),L x,)dx,L dx,V6 78=d 0 f(x(x,L x,),L,x,(x,L x,)V'IJ I dx,dx,L dx,.64 7 4例1 来 I=OL Q,(xi +L + x;)dx;L dx,,其中 V为 n 维立方体:[0,1]"L"[0,1]解 利用对称性,有巡回前页后页

前页 后页 返回 解 利用对称性,有 例1 求 其中 V 为n 维立方体: