《数学分析》课程教学课件（讲稿）二重积分概念

S1 二重积分概念二重积分是定积分在平面上的推广，不同之处在于：定积分定义在区间上，区间的长度容易计算，而二重积分定义在平面区域上，其面积的计算要复杂得多。一、平面图形的面积二、二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质巡回后页前页

前页 后页 返回 §1 二重积分概念 二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域 上, 其 面 积 的 计 算 要 复 杂 得 多. 一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质 返回

一、平面图形的面积我们门首先定义平面图形的面积.所谓一个平面图形P是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集,即存在一短形R,使得 PIR.设P是一平面有界图形，用平行于二坐标轴的某一组直线网T分割这个图形（图21-1），这时直线网T的网限(小闭矩形)D,可分为三类:(i) D, 上的点都是 P 的内点;(ii) D, 上 的点都是 P 的外点,即 D, I P = E;后页回前页

前页 后页 返回 一、平面图形的面积 我们首先定义平面图形的面积. 所谓一个平面图形 P 是有界的, 是指构成这个平面图形的点集是平面 上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得 设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 的网眼 (小闭矩形) 可分为三类: (i) 上的点都是 P 的内点; (ii) 上的点都是 P 的外点, 即

(iii)D，上含有P的边界点y将所有属于第(i)类小矩形（图21-1中紫色部分）的面积加起来，记这个和数为.11Sp(T), 则有 Sp(T)D,(这x0图21- 1里D表示包含P的那个矩形R的面积);将所有第(i) 类与第(ii)类小矩形的面积加起来（图21-1中着色部分），记这个和数为Sp(T), 则有 Sp(T) Sp(T),后页巡回前页

前页 后页 返回 (iii) 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 (图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来,记这个和数为 里 表示包含P 的那个矩 形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第 (ii) 类小矩形的 面积加起来(图 21-1中着色部分),记这个和数为 则有 则有 (这

由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网数集(Sp(T))有上确界,{Sp(T))有下确界.记Ip = sup(sp(T)), Ip = inf(S,(T))T显然有0 t Ip Ip.(1)通常称 L,为P的内面积, Ip 为P的外面积.定义1 若平面图形P满足L,=IP,则称P为可求面积的图形,并把共固值 I,= Lp= Ip作为 P 的而积,定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是：巡回后贡前页

前页 后页 返回 由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网, 显然有 通常称 为 P 的内面积, 为 P 的外面积. 定义1 若平面图形 P 满足 = , 则称 P 为可求面 积的图形,并把共同值 作为 P 的面积. 定理21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: 数集 有上确界, 有下确界. 记

对任给的e >0,总存在直线网 T,使得(2)Sp(T) - Sp(T)0,由 Lp及 Ip 的定义知道,分别存在直线网 T,与 T,,使得es,(T)>1-9, 5,(T.)p+=.(3)2记T为由T,与 T,这两个直线网合并所成的直线网,可证得巡回前页后贡

前页 后页 返回 对任给的 总存在直线网 T, 使得 证 必要性 设有界图形 P 的面积为 . 由定义1, 有 由 及 的定义知道, 分别 存在直线网 与 使得 记 T 为由 与 这两个直线网合并所成的直线网, 可证得

Sp(T) sp(T), Sp(T,)3 Sp(T).于是由(3)可得s,(1)>1.号, S(T)0,存在某直线网T,使得Sp(T)-Sp(T)<e.但 Sp(T) Ip Ip S,(T),所以后页巡回前页

前页 后页 返回 于是由(3)可得 从而对直线网 T 有 充分性 设对任给的 存在某直线网 T, 使得 但 所以

Ip- Ip S,(T)- Sp(T)0,存在直线网T,使得Sp(T)0,平面图形P能被有限个面积总和小于e的小短形所覆盖巡回前页后贡

前页 后页 返回 由 的任意性, 得 因而平面图形 P 可求面 积. 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 即对任给的 存在直线网 T, 使得 或对任给的 平面图形 P 能被有限个面积总和 小于 的小矩形所覆盖

定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P 的边界 K 的面积为零证由定理21.1,P可求面积的充要条件是：对任给的e >0,存在直线网T,使得S,(T)- Sp(T)<e.由于Sk(T) = Sp(T)- Sp(T),所以也有S<(T)<e.由上述推论,P的边界K的面积为零.定理21.3若曲线K为定义在[a,b上的连续函数f(Xx)的图象，则曲线K的面积为零回前页后贡

前页 后页 返回 定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给 的 存在直线网T, 使得 由于 所以也有 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零. 定理21.3 若曲线 K 为定义在 上的连续函数 的图象, 则曲线 K 的面积为零

证由于f(x)在闭区向[a,b] 上连续,所以它在[a,b] 上一致连续. 因而,"e >0, sd >0,当a=x,<x,<L<x, =b,max[Dx, = x, - x,-1 [i = 1,2,L ,n} <d时,可使f()在每个小 区向[Xi-1 ,X;] 上的振幅都成立 w,<b=a.即著把曲线K拉x=xg,对,L,,分b-a成 n 个小段,则每一小段都能被以 Dx,为宽,W,为高的小矩形所覆盖.由于这n个小矩形面积的总和回后贡前页

前页 后页 返回 证 由于 在闭区间 上连续, 所以它在 上一致连续. 因而, 当 ， 时, 可使 在每个小区间 上的振幅都成 高的小矩形所覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和 立 即若把曲线 K 按 分 成 n 个小段, 则每一小段都能被以 为宽, 为

A w Dr,<n-a Dx,=e,-b- a i=li=1因此由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零推论l 参量方程x=j (t),y=y (t)(a t尤b)所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积一定为零证由光滑曲线的定义，i 均存在且不固时为零由隐函数存在性定理," t, I [a,b ],xdt,) 0(或y(t) 1 0), 因此 U(t,;d),x = x(t)(或 y = y(t))在U(t.;d)上有反函数.再有限优盖定理,可把区向回后页前页

前页 后页 返回 因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零. 推论1 参量方程 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 证 由光滑曲线的定义， 均存在且不同时为零. 由隐函数存在性定理, (或 因此 (或 ) 在 上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间