《数学分析》课程教学课件（讲稿）复变量的指数函数·欧拉公式

?$3复变量的指数函数·欧拉公式设有复数项级数u,+u, +L +u,+L(1)其中每一项都是复数u,=an+ib（an，b为实数，i为虚数单位,n=1,2,L），则(1)式可写成(2)(a, +ib)+(a, +ib,)+L +(a, +ib,)+L .以S,表示(1)的前n项部分和，并记1R=aak,In=abkk=1k=1返回后页前页

前页 后页 返回 设有复数项级数 其中每一项都是复数 ( 为实数, i为 虚数单位, ), 则 (1) 式可写成 以 Sn表示 (1) 的前 n 项部分和, 并记 返回 ＊§3 复变量的指数函数 · 欧拉公式

则有S, = R, +i In.若 lim R,与 lim I,存在,则称级数(1)收敛,若 用A, Bn??nR?分别记这两个极限值,则级数(1)的和为A+iB.据此级数(1)收敛的充要条件是：级数?￥aan与abn=1n=1都收敛级数(1)各项u，的模为后贡巡回前页

前页 后页 返回 则有 若用A, B 分别记这两个极限值, 则级数(1)的和为A+iB. 据此, 级数(1)收敛的充要条件是: 级数 都收敛. 级数(1)各项 un 的模为

I u, I a, +b,,n =1,2,L .若级数|u, I+[u, I+L +|u, I+L收敛，则称级数(1)绝对收敛.由关系式[an[f| unl, Ib, |f|un l, n =1,2,L可证得：若级数(1)绝对收敛，则级数(1)必收敛设c,(n =1,2,L)为复数，z为复变量，则称级数(3)C +ciz +c,z2+L +c,z" +L为复数项幂级数. 若 7 = Z.使得级数(3)收效,则称其后页巡回前页

前页 后页 返回 若级数 收敛, 则称级数(1)绝对收敛. 由关系式 可证得: 若级数(1)绝对收敛, 则级数(1)必收敛. 设 为复数, z为复变量, 则称级数 为复数项幂级数. 若 使得级数(3)收敛, 则称其

在点z收敛.所有使级数(3)收敛的全体复数构成复数项幂级数(3)的收敛域记r =lim/lc, l,n??这时和s1实数项幂级数一样可证得：级数(3)对一切满 足|z一的z不仅收敛,而且绝对收敛；对一切Iz>一的 z,级数(3)发散.用R=一表示复数项幂后贡巡回前页

前页 后页 返回 在点z0收敛. 所有使级数(3)收敛的全体复数构成复 数项幂级数(3)的收敛域. 记 这时和§1实数项幂级数一样可证得: 级数(3)对一 切满足

级数(3)的收敛半 径(当 r =0 时, R = +￥ ; 当 r =+时, R =0), 则级数(3)的收敛范图是复平面 上的以原原点为中心，R为半径的圆例如级数+*++*+,(4)2!n!由于=0,lim / c, I =lim n!n??n??V故级数(4)的收敛半径R= +￥，即(4)在整个复平面后贡巡回前页

前页 后页 返回 级数(3)的收敛半径(当 时, ; 当 原点为中心, R为半径的圆. 例如级数 由于 时, ), 则级数(3)的收敛范围是复平面上的以原 故级数(4)的收敛半径 , 即(4)在整个复平 面

上都是收敛的，当z为实变量x时，(4)的和函数为实变量的指数函数e: 因此,残们也把级数(4)的和函数,定义为复变量z的指数函数e，即北+L ++L .(5)e"=1+z+2!n!用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函数:35_2n- 1N7.7n-一+L+L,(6)sin z = z --13!5!(2n - 1)!后贡巡回前页

前页 后页 返回 上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实 变量的指数函数 . 因此, 我们也把级数(4)的和函数, 定义为复变量z的指数函数 , 即 用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函 数:

242n33N(7)+L:COSz=十+L(2n)!2!4!它们的收敛域都是整个复平面以iz代替(5)式中的z,可得(iz)2(iz)"+L +$e =1 + iz +$+L2!n!25W234N=11一+L+i+-17一2!3！4！5!2.3.51xo.ae0aeN1L1+L-+icz-+L++O1CeC3!2!4!5!e00后贡巡回前页

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联系(6)与(7)式,就有eiz = cos z +isin z.当z为实变量x时，则得e" = cos x +isin x,,-?<x<+￥.它称为欧拉公式.这个公式给出了（实变量）指数函数与三角函数之间的关系由于任一复数z都可写作r(cosq+isinq)(r为z的模即 / z=r,q =argz为 z 的辐角), 那么 由改拉么式可得复数的指数形式巡回后页前页

前页 后页 返回 联系(6)与(7)式, 就有 当z为实变量 x 时, 则得 它称为欧拉公式. 这个公式给出了(实变量)指数函 数与三角函数之间的关系. 由于任一复数 z 都可写作 (r为z的模, 即 为 z 的辐角), 那么由欧拉公式可 得复数的指数形式

z = r(cosq +isinq)= re'.与实幂级数一样，由级数的乘法运算可得ei+ = e'e"2.当以z=x+iy代入上式,则有e"=e*+iy =e*e" =e*(cos y +isin y).邀回前页后页

前页 后页 返回 与实幂级数一样, 由级数的乘法运算可得 当以 代入上式, 则有