《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）有理函数和可化为有理函数的不定积分

S3有理函数和可化为有理函数的不定积分本节给出了求有理函数等有关类型的不定积分的方法与步骤一、有理函数的部分分式分解二、有理真分式的递推公式三、三角函数有理式的不定积分四、某些无理函数的不定积分前页后页返回

前页 后页 返回 §3 有理函数和可化为 一、有理函数的部分分式分解 本节给出了求有理函数等有关类型的 四、某些无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分 二、有理真分式的递推公式 有理函数的不定积分 不定积分的方法与步骤. 返回

一、有理函数的部分分式分解有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数其一般形式为：P(x) _ αgx" +α,x"-l +...+αnR(x)Q(x)β,x" + β,xm-I +...+ βm(α ± 0,β, ± 0),m>n时称为真分式,m<n 时称为假分式假分式可化为一个多项式和一个真分式之和返回前页后页

前页 后页 返回 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n m m m P x x x R x Q x x x       − − + + + = = + + + 有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数, 一、有理函数的部分分式分解 m > n 时称为真分式, m ≤ n 时称为假分式. 假分式可化为一个多项式和一个真分式之和. 0 0 ( 0, 0),     其一般形式为:

A,B,x+C,真分式又可化为与之和,其(x-a)"(x2 + px + q)分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下1.对分母Q(x)在实数系内作标准分解：Q(x)=-(x-a,)..(x-a,)(x + pix+q.).(x + px+q,)"其中元nu,eN,且之a,+2Zu,=m,i1j-1p, - 4q, <0, j - 1,2,,t.2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分式，对应于(x-a)的部分分式是前页后页返回

前页 后页 返回 1. 对分母 Q(x) 在实数系内作标准分解: 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , s t Q x x a x a x p x q x p x q s t t     = − − + + + + 2 4 0, 1,2, , . j j p q j t −  = + 1 1 , N , 2 , s t i j i j i j     m = = 其中  + = 且   2. 根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分 分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下: 真分式又可化为 2 2 (x px q) Bi x Ci + + + ( ) i i A x a − 与 之和,其 ( )k 式. 对应于 x a − 的部分分式是

AkA A(x-a)kx-a (x-a)对应于（x2+px+g）的部分分式是B,x+C2B,x+CkB,x+C(x* + px+q)x2 + px+q (x2 + px+q)把所有部分分式加起来,使之等于Q(x),由此确定上述部分分式中的待定系数A，Bi,C后页返回前页

前页 后页 返回 . ( ) ( ) 2 1 2 k k x a A x a A x a A − + + − + −  , ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 k k k x px q B x C x px q B x C x px q B x C + + + + + + + + + + + +  把所有部分分式加起来,使之等于 Q(x), 由此确定 对应于 k (x px q) 2 + + 的部分分式是 上述部分分式中的待定系数 Ai , Bi , Ci

3.确定待定系数的方法把所有分式通分相加，所得分式的分子与原分子P(x）应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则，得到待定系数所满足的线性方程组，由此解出待定系数2x4 - x3 +4x2 +9x -10作部分例1 对 R(x) =2x+x-5x3-2x2+4x-8分式分解后页返回前页

前页 后页 返回 3. 确定待定系数的方法 把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子 分式分解. 组, 由此解出待定系数. 必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程 P(x) 应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数 例1 4 3 2 5 4 3 2 2 4 9 10 ( ) 5 2 4 8 x x x x R x x x x x x − + + − = + − − + − 对 作部分

解 因为Q(x)=x+x4-5x3-2x2+4x-8=(x - 2)(x + 2)(x - x+1)Bx+CAAA所以 R(x)=x-2 x+2 (x+2)2 x2 -x+1两边乘以Q(x),得到2x4 - x3 +4x2 + 9x -10= A,(x+2)(x -x+1)+ A(x -2)(x+2)(x - x+1)+A,(x - 2)(x2 -x+1)+(Bx +C)(x - 2)(x+2)前页后页返回

前页 后页 返回 = + − + + − + − + 2 2 2 0 1 A x x x A x x x x ( 2) ( 1) ( 2)( 2)( 1) = + − − + − 5 4 3 2 解 因为Q x x x x x x ( ) 5 2 4 8+ = + + + − + + − + 0 1 2 2 2 ( ) , 2 2 ( 2) 1 A A A Bx C R x x x x x x 所以 两边乘以Q x( ), 得到 ( 2)( 2) ( 1). 2 2 = x − x + x − x + 4 3 2 2 4 9 10 x x x x − + + − + − − + + + − + 2 2 2 A x x x Bx C x x ( 2)( 1) ( )( 2)( 2)

比较同次项系数，得到线性方程组x的系数A, + A + B= 23A,-A, +A, +2B+C=-1 x3 的系数A,-3A -3A, -4B+2C=4 x2的系数x的系数4A +3A, -8B-4C = 9常数项4A, -4A -2A, -8C =-10解得 A, =1, A = 2, A, =-1, B=-1, C=1.于是完成了R(x)的部分分式分解：121x-1R(x) =x2-x+1x-2 x+2 (x-2)2前页后页返回

前页 后页 返回 比较同次项系数, 得到线性方程组 4 0 1 3 0 1 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 2 3 2 1 3 3 4 2 4 4 3 8 4 9 4 4 2 8 10 A A B x A A A B C x A A A B C x A A B C x A A A C  + + =  − + + + = −    − − − + =  + − − =   − − − = −  的系数 的系数 的系数 的系数 常数项 解得 1, 2, 1, 1, 1. A0 = A1 = A2 = − B = − C = . 1 1 ( 2) 1 2 2 2 1 ( ) 2 2 − + − − − − + + − = x x x x x x R x 于是完成了R(x) 的部分分式分解:

二、有理真分式的递推公式任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形式的不定积分之和：Lx + Mdx(i)(ii)dx (p2 - 4q 1.a)后页返回前页

前页 后页 返回 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形 d (i) ; ( )k x x a −  2 2 (ii) d ( 4 0). ( )k Lx M x p q x px q + −  + +  二 、有理真分式的递推公式 1 ln | | , 1, d (i) 1 , 1. ( ) (1 )( ) k k x a C k x x a C k k x a −  − + =  =  − +    − −  下面解这两类积分. 式的不定积分之和：

(i) 令t=x+号,r=q-,N=M-L,则22Lx + MLt + Ndx:di-(r+ px+g)rd+ry(t2dt-Lletry+N(t2+r)k=1 时,dt=,In(r +r")+c,dt=-arctan- +C.12后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 2 2 d d . ( ) ( ) k k t t L t N t r t r = + + +   k = 1 , 时 2 2 d 1 arctan . t t C t r r r = + +  2 2 2 d d ( ) ( ) k k Lx M Lt N x t x px q t r + + = + + +   2 2 2 2 1 d ln( ) , 2 t t t r C t r = + + +  (ii) , 2 p 令 t x = + 2 2 , , 4 2 p pL r q N M = − = − 则

k≥2时,1dt一,则记-+rydt福dt返回前页后页

前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 d( ) 1 d . ( ) 2 ( ) 2(1 )( ) k k k t t r t C t r t r k t r − + = = + + + − +   = +  2 2 d , ( ) k k t I t r 记 则+ − = +  2 2 2 2 2 2 1 ( ) d ( ) k k t r t I t r t r = − − +  2 2 2 2 2 1 1 1 d ( ) k k t I t r r t r k  2 , 时