《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章曲线积分与曲面积分_第六节高斯公式、通量与散度

第六节高斯公式通量与散度一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件*三、通量与散度下页返回MathGs上页公式数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积 分为零的条件 *三、通量与散度

第六节高斯公式通量与散度高斯公式（Gauss）PoCdxdy = oPdx + QdyX0L推广二维Of(x)dx = F(b)- F(a)三维推广高斯公式下页返回MathGS上页公式数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 一、高斯公式(Gauss) 二维 推广 三维 推广 高斯公式

第六节高斯公式通量与散度定理1口所围设空间闭区域口是由分片光滑曲面成，函数P(x,)、Qxz)、R(x)在上具有Gauss公式一阶遥续偏导数，则有apROdv=OBdydz+Qdzdx+RdxdyQQQZVCCOROap或dv=ooPcosa+Qcosb+Rcosg)dsocgik2VO这里是的整个边界曲面的外侧，，，是口的法向量的方向余弦板书包证明包下页MathGS上页返回公式数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 定理1 设空间闭区域 ￾ 是由分片光滑曲面 ￾ 所围 成，函数 P(x , y , z)、Q(x , y , z)、R(x , y , z) 在￾ 上具 有 一阶连续偏导数，则有 或 这里 ￾ 是 ￾ 的整个边界曲面的外侧，￾ , ￾ , ￾ 是 ￾ 的 法向量的方向余弦. Gauss公式

第六节高斯公式通量与散度Or- y)dxdy+(y- z)xdydz,例1用Gauss公式计算Z其中□为柱面x2+2=1及平面z=0,z=3所围空间闭区域口的整个边界曲面的外侧解白7下页返回MathGS上页公式数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 例1 用Gauss 公式计算 其中￾ 为柱面 x 2 + y 2 = 1 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间闭 区域 ￾ 的整个边界曲面的外侧. x y z

第六节高斯公式通量与散度例2利用Gauss公式计算积分I = 00r? cosa + y? cos b + z? cosg)ds其中 为锥面x2 +y2=z介于z=0及 z= h(h>0)之间努的下侧, ,, 为法向量的方向角,1解台DXV下页返回MathGS上页公式数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 例2 利用Gauss 公式计算积分 其中￾ 为锥面 x 2 + y 2 = z 2 介于z = 0及 z = h (h>0)之间 部分的下侧, ￾ , ￾ , ￾ 为法向量的方向角. ￾ 1 ￾ Dxy x y z

第六节高斯公式通量与散度例3设为曲面z=2-22，z２ 取上侧,求I =00r'z+x)dydz- x'yzdzdx- x?z? dxdyZ解白1XDXyXR下页返回MathGs上页公式数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 x y z 例3 设￾ 为曲面 取上侧, 求 ￾ ￾ 1 Dxy x y z O O

第六节高斯公式通量与散度例4设u(x,,z)和v(x,,z)在闭区域上具有阶及二阶连续偏导数，证明uvoauvdS-ovdxdydz =?dxdydz00001z 1z 0nyy2y为函数v(x,y,其中是闭区域的整个边界曲面n7沿口的外法线方向的方向导数，符号Dx称为拉普拉斯(Laplace)算子.这个公式叫格林第一公式证明包下页返回MathGS公式上页线与面数学家

第六节 高斯公式 通量与散度 例4 设 u(x , y , z) 和 v(x , y , z) 在闭区域 ￾ 上具有 一 阶及二阶连续偏导数，证明 其中￾ 是闭区域 ￾ 的整个边界曲面， 为函数v(x , y , z) 沿￾ 的外法线方向的方向导数，符号 称为拉普拉斯(Laplace)算子. 这个公式叫格林第一公式

第六节高斯公式通量与散度二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型设有空间区域G，若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G，则称G为空间二维单连通域；若G内任一闭曲线总可以张成一片全属于G的曲面，则称G为空间一维单连通域．例如下页返回MathGS公式上页数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 闭曲线总可以张成一片全属于 G 的曲面, 间一维单连通域 . 若 G 内任一闭曲面所围成的区域 若 G 内任一 则称 G 为空 例如

第六节高斯公式通量与散度既是二维又是一维单连通域椭球面星形球面方形球面伪球面下页MathGs上页返回公式数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 既是二维又是一维单连通域 椭球面 伪球面 星形球面 方 形 球 面

第六节高斯公式通量与散度是二维但不是一维单连通域球柱体圆环面玫瑰管面下页MathGs上页返回公式数学家线与面

第六节 高斯公式 通量与散度 是二维但不是一维单连通域 圆环面 玫瑰管面 球柱体