《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章无穷级数_第五节函数的幂级数展开式的应用

第五节函数的幕级数展开式的应用一、近似计算微分方程的幂级数解法三、欧拉公式返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 三、欧拉公式

第五节函数的幕级数展开式的应用一、近似计算用函数的幂级数展开式，可以在展开式有效的区间内计算函数的近似值，而且可达到预先指定的精度要求返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第五节 函数的幂级数展开式的应用 一、近似计算 用函数的幂级数展开式，可以在展开式有效的区间 内计算函数的近似值，而且可达到预先指定的精度要求

第五节函数的幕级数展开式的应用例1计算5/240的近似值，要求误差不超过10-4，解包例2 计算 ln 2 的近似值，要求误差不超过10-4解白f求sin9°的近似值，并估计例3 利用 sinx ~ x-3!误差.解白上页下页返回MathGS公式数学家线与面

第五节 第五节 函数的幂级数展开式的应用 函数的幂级数展开式的应用 解 例1 计算 5 240 的近似值，要求误差不超过 10-4 . 把 5 240 表示为 5 240 5 = 243−3 . 3 1 3 1 1 5 4       = − ( 1 1) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 −   + − − + + + − + = + + x x n m m m n x m m x mx m n    在二项展开式 中取 , 3 1 , 5 1 4 m = x = − 得 例1 计算 5 240 的近似值，要求误差不超过 10-4 . 第五节 函数的幂级数展开式的应用 解 例2 计算 ln 2 的近似值，要求误差不超过 10-4 . 利用公式 ( 1) ( 1 1) , 2 3 ln(1 ) 1 2 3 + = − + − + − + −   − x n x x x x x n  n  可得 . 1 ( 1) 3 1 2 1 ln 2 1 = − + −+ − −1 + n n 如果取前 n 项作为近似值，其误差为 1 1 | | +  n rn 4 10−  10 . 4 n  例2 计算 ln 2 的近似值，要求误差不超过 10-4 . 例3 利用 求 误差. 的近似值 , 并估计 第五节 函数的幂级数展开式的应用 例3 利用 , 3! sin 3 x x  x − 求 sin 9 误差. 的近似值 , 并估计 ) , 20 π ( 7! 1 ) 20 π ( 5! 1 ) 20 π ( 3! 1 20 π 20 π sin  = − 3 + 5 − 7 + 解 9 = (弧度), 5 2 ) 20 π ( 5! 1 r  5 (0.2) 120 1  10 . 3 1 −5    0.157080− 0.000646 3 ) 20 π ( 3! 1 20 π 20 π  sin  − 9 180 π  20 π =  0.15643. 先把角度化为弧度

第五节函数的幕级数展开式的应用2例4计算积分的近似值，精确到10-4dx-T~ 0.56419√元解白1sinx例5计算积分dx的近似值，精确到10-40x解白上述两题也可以在MathGS的工具箱中进行验证返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第五节 函数的幂级数展开式的应用 例4 计算积分 的近似值, 精确到 10-4 0.56419 . π 1        第五节 函数的幂级数展开式的应用 例4 计算积分 x x e d π 2 2 1 2 0 − 的近似值, 精确到 10 -4 0.56419 . π 1        解 + − + − = − + − 3! ( ) 2! ( ) e 1 2 2 2 3 2 2 x x x x ! ( 1) 2 0 n x n n n   = = − (−  x  +) . x x e d π 2 2 2 1 0 −  dx π 2 2 1 0       = ! ( 1) 2 0 n x n n n   = −   = − = 0 ! ( 1) π 2 n n n x x n d 2 0 2 1    =  − = 0 ! ( 1) π 2 n n n 2 1 2 1 n+ (2n +1) 例5 计算积分 的近似值，精确到 10-4 . 第五节 函数的幂级数展开式的应用 例5 计算积分 x x x d 1sin 0  的近似值，精确到 10-4 . 解 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为1，则它在积分区 , (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2  + + = − + − + + − n x x x x x x n n 间上连续，且有幂级数展开式 : 由于 上述两题也可以在MathGS的工具箱中进行验证

第五节函数的幕级数展开式的应用微分方程的幂级数解法二行1.一阶微分方程的情形求解一阶微分方程dy=f(x,y),dx= YoX=x其中f(x,)是x-xo及y-yo的多项式返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第五节 函数的幂级数展开式的应用 二、微分方程的幂级数解法 ( , ) , d d f x y x y = , 0 0 y y x x = = 1. 一阶微分方程的情形 求解一阶微分方程 其中 f (x , y) 是 x – x0 及 y – y0 的多项式

第五节函数的幕级数展开式的应用dy.= f(x,y) y= yoLx=Xodx设所求解为y= yo +ai(x - xo)+a2(x - xo)~ + ...+a,(x -xo)n +..代入原方程,比较同次幂系数可定常数αi,α2，…,an，"由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解下页返回MathGS公式数学家上页线与面

第五节 函数的幂级数展开式的应用 y = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) 2 + 代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 , , , , . a1 a2  an  由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为 ( ) , + an x − x0 n + ( , ) d d f x y x y = 0 0 y y x x = =

第五节函数的幕级数展开式的应用例6求方程'=x+y2 满足=0=0 的特解解包返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第五节 函数的幂级数展开式的应用 例6 求方程 y  = x + y 2 满足 y|x = 0 = 0 的特解. 第五节 函数的幂级数展开式的应用 例6 求方程 y  = x + y 2 满足 y| x = 0 = 0 的特解. 解 . 2 y = a1 x + a2 x ++ an x n + 代入原方程, 得 a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x 3 + 5a5 x 4 + 3 2 3 2 1 2 = x + (a x + a x + a x +) 2 ( 2 ) . 4 1 3 2 2 3 1 2 2 2 = x + a1 x + a a x + a + a a x + 根据初始条件, 设所求特解为

第五节函数的幕级数展开式的应用2.二阶变系数齐次方程y" + P(x)y'+Q(x)y= 0定理 设 P(x), Q(x) 在 (-R,R) 内可展成x的幂级数，则在-R<x<R内上述方程必有幕级数解：80Vy=nn=0此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用，很多重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第五节 函数的幂级数展开式的应用 2. 二阶变系数齐次方程 定理 则在 -R < x < R 内上述方程必有幂级数解: 设 P(x), Q(x) 在 (-R, R ) 内可展成 x 的幂级 此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用, 很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的. 数, . 0   = = n n n y a x

第五节函数的幕级数展开式的应用例7 求方程 x2"-(x+2)(xy-)= x的一个特解解包返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第五节 函数的幂级数展开式的应用 例7 求方程 2 4 x y −(x + 2)(x y − y) = x 的一个特解. 第五节 函数的幂级数展开式的应用 例7 求方程 2 4 x y  − (x + 2)(x y  − y) = x 的一个特解. 解 设特解为 , 0 n n n y a x  = = 代入原方程整理得 2 ( 1)( 2) ( 2)  . 4 1 2 0 0 a a x n n a n a x x n n n n + + − − − − − =  =  比较系数得: 0, a0 = 6 2 1, a4 − a3 = ( 1)( 2) ( 2) 0 ( 2, 4). n − n − an − n − an−1 = n  n  1 2 a , a 可任意取值, 因是求特解, 故取 0, a1 = a2 = 从而得 . 6 1 0, a3 = a4 = 显然

第五节函数的幕级数展开式的应用三、欧拉（Euler）公式8Z(un +ivn)(1)对复数项级数n=l88若 Zun=u,vn=v,则称(1)收敛,且其和为u+iv,n=1n=180Zun+ivn=u+v,收敛,则称(1)绝对收敛若n=ln=l由于u+，+,故知8un，Zv，绝对收敛Z(un+ivn)绝对收敛n=ln=1n=18Z(un+ivn) 收敛n=上页下页返回MathGS公式数学家线与面

第五节 函数的幂级数展开式的应用 三、欧拉(Euler)公式 则称(1)收敛 , 且其和为 ( i ) 1 n n n  u + v  = 绝对收敛 , 1   n= n u ( i ) 1 n n n  u + v  = 收敛 . , 1 u u n  n =  = , 1 v v n  n =  = 若 n n n u iv 1  +  = u + i v. 2 2 1 n n n =  u +v  = 收敛, 若 对复数项级数 , 2 2 n n n u  u + v 2 2 n n n v  u + v (1)   n=1 n v 绝对收敛 则称(1) 绝对收敛. 由于 , 故知