《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何_向量代数与空间解析几何总结

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH向量代数与空间解析几何知识点总结()向量代数（一）空间解析几何2国顶下质

（一）向量代数 （二）空间解析几何

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH(一）『向量代数福1、向量的概念定义：既有大小又有方向的量称为向量重要概念：向量的模、单位向量、零向量、自由向量、相等向量、负向量、平行向量、向径页国下页

1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、 相等向量、 负向量、 向径. 重要概念: 向量的模、单位向量、零向量、 平行向量、 （一）向量代数

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2、向量的线性运算a+b(1）加法:(2) 减法：a－ba(3）向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积a规定为(l)>0,aa与a同向，a=la(2) = 0, a = 0(3)0，a与a反向，la=al上页下页回

(1) 加法： a b   + 2、向量的线性运算 a  b  (2) 减法： a b   − (3) 向量与数的乘法： 设 是一个数，向量a  与 的乘积 a   规定为 (1)   0, a   与a 同向，| a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与a 反向， | a | | | | a |    =  

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3、向量的表示法向量的分解式：a=ai+a,j+a,k在三个坐标轴上的分向量：a,i，a,j，a,k向量的坐标表示式：a=(ax，a,，a,}向量的坐标：ax，a，a其中aa,,a,分别为向量在x,y,z轴上的投影页回下页

向量的分解式： { , , } x y z a = a a a  , , , . 其中ax, ay az 分别为向量在 x y z 轴上的投影 a ax i ay j az k     = + + 在三个坐标轴上的分向量： ax i ay j az k    , , 向量的坐标表示式： 向量的坐标： ax ay az , , 3、向量的表示法

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH向量的加减法、数乘向量的坐标表达式?=(ax, a,,a,}b={bx, b,, b,}a+b=(ax+bx, a, +b,, a, +b,}=(a, +b,)i +(a, +b,)j+ (a, +b,)ka-b=(ax-bx, a,-b,, a,-b,})=(ax-b,)i +(a,-b,)j +(a, -b,)ka=(ax,Ma,,Aa,}=(aax)i +(aa,)j+(aa,)k上页这回下质页

向量的加减法、数乘向量的坐标表达式 { , , } x y z a = a a a  { , , } b = bx by bz  { , , } a + b = ax + bx ay + by az + bz   { , , } a − b = ax − bx ay − by az − bz   { , , } a = ax ay az  ax bx i ay by j az bz k    = ( + ) + ( + ) + ( + ) ax bx i ay by j az bz k    = ( − ) + ( − ) + ( − ) ax i ay j az k    = ( ) + ( ) + ( )

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHlal-a+a,+a向量模的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式acoSα =+a+aacos β =ax+a,+a,acOs Y=(cos α + cos° β+ cos°= 1)ax+a,+a,上页反回下页

2 2 2 | | a = ax + ay + az  向量模的坐标表示式 2 2 2 cos x y z x a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z y a a a a + +  = 2 2 2 cos x y z z a a a a + +  = 向量方向余弦的坐标表示式 ( cos cos cos 1 ) 2 2 2  +  +  =

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH(点积、内积)4、数量积a.b-lallblcose其中θ为a与b 的夹角数量积的坐标表达式a.b=ab+a,b,+a,b两向量夹角余弦的坐标表示式a.b+a.b.+a.bcosA =a*+a, +a?b,+b,+balba,b+a,b,+a,b, =0上页这回下页

4、数量积 a b | a || b | cos      = 其中 为a  与b  的夹角 (点积、内积) a b = axbx + ayby + azbz    数量积的坐标表达式 a b   ⊥ axbx + ayby + azbz = 0 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH5、向量积(叉积、外积)c -| a l b ] sin其中θ为a与b 的夹角c的方向既垂直于a，又垂直b，指向符合右手系向量积的坐标表达式axb =(a,b,-a,b,)i +(ab,-a,b,)j+(a,b, -a,br)k页下页回

5、向量积 | c | | a || b |sin    = 其中 为a  与b  的夹角 c 的方向既垂直于a  ，又垂直于b  ，指向符合 右手系. (叉积、外积) a b a b k a b a b i a b a b j x y y x y z z y z x x z    ( ) ( ) ( ) + − = − + − 向量积的坐标表达式 a b   

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHiikaxb=axa, azbb,b.aaallbbb,b6、混合积axaya2[abc] =(axb).c=bb,b,cxCzc、上页下页友回

x y z x y z b b b a a a i j k a b       = a b   // z z y y x x b a b a b a = = [abc]    a b c    = (  ) x y z x y z x y z c c c b b b a a a = 6、混合积

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH（一）空间解析几何1、空间直角坐标系空间的点(x,y,z)0有序数组?页回下页

x y z o 1、空间直角坐标系 空间的点 有序数组 (x, y,z) （二）空间解析几何