《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_D12_4函数展开成幂级数

第十二章第四节函数展开成幂级数两类问题在收敛域内8求和antn和函数 S(x)2幂级数展开n=0本节内容：一、泰勒（Taylor）级数二、函数展开成幂级数HIGH EDUCATION PRESS

第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章

一、泰勒（Taylor）级数若函数 f(x)在xo的某邻域内具有 n +1 阶导数,则在该邻域内有：xof(x)= f(xo)+f'(xo)(x-xo)+x-xo2!XO(x- xo)" + R,(x)n!此式称为f(x)的n阶泰勒公式,其中(n+）)n+1R,(x)=（三在x与xo之间）(x -Xo(n +l)!称为拉格朗日余项HIGH EDUCATION PRESS

一、泰勒 ( Taylor ) 级数 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = (  在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f  若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 :

则称若函数 f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数,(xof(xo) + f(xo)(x -xo) +XO2!x-xn!为f(x）的泰勒级数待解决的问题1)对此级数，它的收敛域是什么？2)在收敛域上，和函数是否为f(x)？HIGH EDUCATION PRESS

f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数

设函数f(x)在点xo的某一邻域 U(xo)内具有定理1各阶导数，则f(x）在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足lim Rn(x)= 0n0XO>(x-xo)", xeU(xo)证明： f(x)=n!n=0f(k)(xo)2ASn+1(x)=x-Xok!k=0f(x)= Sn+i(x)+ Rn(x)lim R,(x)= lim[f(x)- Sn+1(x)]= O, xEU(xo)n→00n0HIGHEDUCATIONPRESS

定理1 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x =  −  = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 =  − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有

注:令xo=01.Maclaurin级数f(O)+ f'(O)x -2!n!2.函数在一点的Taylor级数是唯一的HIGHEDUCATION PRESS

令 x0 = 0 注： 1. Maclaurin级数 2. 函数在一点的Taylor级数是唯一的

函数展开成幂级数二、1.直接展开法函数f(x）展开成幂级数的步骤(Maclaurin级数)第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值：第二步写出Maclaurin级数，并求出其收敛半径R：考察在收敛区间(-R,R)内 lim R,(x)是否为0。第三步n→8HIGHEDUCATION PRESS

二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出Maclaurin级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 考察在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为0。 函数 展开成幂级数的步骤(Maclaurin级数)

展开成x的幂级数例1. 将函数f(x)=ex解: : f(n)(x)=ex,f(n)(O)=1 (n=0,1,.),故得级数+x+312!nR=+8:lim其收敛半径为1(n+5n00对任何有限数x，其余项满足(n+1xn8+n+1Rn(x)|=(n +l)!(n+l)!(在0与x 之间)故 ex=1+x+xE(-8,+8.25HIGH EDUCATION PRESS

例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x  f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n =  1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足  e (n +1)! n+1 x x  e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数

例2.将 f(x)= sin x展开成x的幂级数元解: : f(n)(x)= sin(x+n.n=2k(k=0,1,2,..)0((-1)k, n=2k+12n-得级数：×-x+x5 -…·+(-1)n-1(2n-1)!其收敛半径为R=+，对任何有限数x，其余项满足n+1sin(三 +(n+1))?gh+1n→8Rn(x) |=(n+1)!(n + 1)!sinx=x-3x3 +$x5 -..+(-1)n-1(2n-1)!xE(-8,+8HIGH EDUCATION PRESS

例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n      (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2   + n + (n +1)! n+1 x n = 2k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 +  sin x n → n = 2k ( 1) , k − 0 , = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 +

1(-J)n-1由sinx = x3(2n-1)!xE(-80,+80)可推出ncOSx =(2n)!xE(-8,+8HIGH EDUCATION PRESS

= − + −+ − n− x n + n x x x 2 4 1 2 (2 )! 1 ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 可推出  + − = − + − + − 3 5 −1 2 −1 (2 1)! 1 ( 1) 5! 1 3! 1 sin n n x n 由 x x x x

2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质龙幂级数将所给函数展开成将函数例3 分别展开为x的幂级数1-3x将x替换为2x解：由e=1+x+2!得 e2=1+2x +2n由得-1<x<1+x+x2-x-2<x<2n+HIGH EDUCATION PRESS

2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3 解：