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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材高等数学第七版反下册同济大学数学系编高等教育出服社

“十二五”普通高等教高等数学第七版下册同济大学数学系编GAODENG SHUXUE高等教育出版社·北京

01不断锤炼、打造精品”的要求，对弟六坚持改革F

目?录第八章向量代数与空间解析几何：第一节向量及其线性运算一、向量的概念（1）二、向量的线性运算（2）三、空间直角坐标系（6）四、利用坐标作向量的线性运算（8）五、向量的模、方向角、投影（9）习题8-1（13）14第二节数量积向量积·混合积二、两向量的向量积（17）·三、向量的混合、两向量的数量积（14）积（20）习题8-2（23）第三节23平面及其方程:二、平面的点法式方程（24）一、曲面方程与空间曲线方程的概念（23）四、两平面的夹角（27）习题8-3（29）三、平面的一般方程（26）第四节空间直线及其方程30一、空间直线的一般方程（30）二、空间直线的对称式方程与参数方程（30）三、两直线的夹角（32）四、直线与平面的夹角（33）五、杂例（33）习题8-4（36）第五节曲面及其方程37一、曲面研究的基本问题（37）二、旋转曲面（38）三、柱面（40）四、二次曲面（41）习题8-5（44）第六节空间曲线及其方程·45三、空一、空间曲线的一般方程（45）二、空间曲线的参数方程（46）间曲线在坐标面上的投影（49）习题8-6（51)51总习题八C54第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念54二、多元函数的概念（57）三、多元函数的、平面点集n维空间（54）极限（60）习题9-1(64)四、多元函数的连续性（62）第二节偏导数65二、高阶偏导数（69）习题9-2(71)一、偏导数的定义及其计算法（65）全微分第三节72一，全微分的定义（72）：二、全微分在近似计算中的应用（75）习题9-3（77）

目录第四节多元复合函数的求导法则78习题9-4（84）第五节隐函数的求导公式86一个方程的情形（86）习题9-5（91）二、方程组的情形（88）第六节多元函数微分学的几何应用..92一元向量值函数及其导数（92）二、空间曲线的切线与法平面（96）三、曲面的切平面与法线（100）习题9-6（102）第七节方向导数与梯度103、方向导数（103）二、梯度（106）习题9-7（111)第八节多元函数的极值及其求法111一、多元函数的极值及最大值与最小值（111）二、条件极值拉格朗日乘数法（116）习题9-8（121）第九节二元函数的泰勒公式122一、二元函数的泰勒公式（122）二、极值充分条件的证明（125）习题9-9（127）·第十节最小二乘法127习题9-10（132）总习题九132第十章重积分135第一节二重积分的概念与性质..135二、二重积分的性质（138）习题10-1（139）一、二重积分的概念（135）第二节二重积分的计算法140.一、利用直角坐标计算二重积分（141）二、利用极坐标计算二重积分（147）三、二重积分的换元法（152）习题10-2（156）第三节三重积分160二、三重积分的计算（161)习题10-3（166）、三重积分的概念（160）第四节重积分的应用：168三、转动惯量（174）一、曲面的面积（168）二、质心（172）四、引力（176）习题10-4（177）第五节含参变量的积分179习题10-5（184）总习题十185第十一章曲线积分与曲面积分188第一节对弧长的曲线积分188二、对弧长的曲线积分、对弧长的曲线积分的概念与性质（188）的计算法（190）习题11-1（193）.I:

目录第二节对坐标的曲线积分194一、对坐标的曲线积分的概念与性质（194）二、对坐标的曲线积分的计算法（197）三、两类曲线积分之间的联系（202）习题11-2（203）第三节格林公式及其应用204二、平面上曲线积分与路径无关的条件（208）一、格林公式（204）三、二元函数的全微分求积（211）四、曲线积分的基本定理（215）习题11-3（216）第四节对面积的曲面积分.218一、对面积的曲面积分的概念与性质（218）二、对面积的曲面积分的计算法（219）习题11-4（222）第五节对坐标的曲面积分223一、对坐标的曲面积分的概念与性质（223）二、对坐标的曲面积分的计算法（227）三、两类曲面积分之间的联系（229）习题11-5(231)第六节高斯公式通量与散度232一、高斯公式（232）二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件（236）：三、通量与散度（237）习题11-6（239）第七节斯托克斯公式环流量与旋度240一、斯托克斯公式（240）二、空间曲线积分与路径无关的条件（244）三、环流量与旋度（246）习题11-7（248）总习题十..249第十二章无穷级数251第一节常数项级数的概念和性质*251一、常数项级数的概念（251）二、收敛级数的基本性质（254）：三、柯西审敛原理（257）习题12-1（258）第二节常数项级数的审敛法..259一、正项级数及其审敛法（259）二、交错级数及其审敛法（265)三、绝对收敛与条件收敛（266）四、绝对收敛级数的性质（268）习题12-2（271）第三节幂级数272、函数项级数的概念（272）二、幂级数及其收敛性（273）三、幂级数的运算（278）习题12-3（281)第四节函数展开成幂级数282..习题12-4（289）第五节函数的幂级数展开式的应用290一、近似计算（290）二、微分方程的幂级数解法（294）三、欧拉公式（297）习题12-5（298）. III

目录*第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质299一、函数项级数的一致收敛性（299）二、一致收敛级数的基本性质（303）习题12-6（307）第七节傅里叶级数·307一、三角级数三角函数系的正交性（308）二、函数展开成傅里叶级数（310）三、正弦级数和余弦级数（315）习题12-7（320）第八节一般周期函数的傅里叶级数321、周期为21的周期函数的傅里叶级数（321）二、傅里叶级数的复数形式（325）习题12-8（327）总习题十二327习题答案与提示330.IV

第八章向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题.空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间解析几何的知识对学习多元函数微积分也是必要的本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容第一节向量及其线性运算一、向量的概念客观世界中有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，这一类量叫做向量（或矢量）在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB（图8-1）.有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面图8-1加箭头）来表示向量，例如a、、、F或a、六、、F等在实际问题中，有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度与该质点的位置有关，一个力与该力的作用点的位置有关），有些向量与其起点无关，由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方.当遇到与起点有关的向量时，可在一般原则下作特别处理，由于我们只讨论自由向量，所以如果两个向量a和b的大小相等，且方向相同，我们就说向量a和b是相等的，记作a=b.这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的.向量的大小叫做向量的模.向量AB、a和a的模依次记作IABI、IaI和IaI.1

第八章向量代数与空间解析几何模等于1的向量叫做单位向量.模等于零的向量叫做零向量，记作0或0.零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的，设有两个非零向量a，b任取空间一点0,作0A=a,OB=b，规定不超过T的AOB（设=AOB，O≤≤）称为向量a与b的ABAb夹角（图8-2），记作（a,b）或（b，a），即（a，b）=p.如果向量a与b中有一个是零向量，规定它们的夹角可P以在0到T之间任意取值2aAA图8-2如果（a，b）=0或T，就称向量a与b平行，记作Aa//b.如果（a,b）=号，就称向量a与b垂直，记作ab.由于零向量与另一向量2的夹角可以在0到π之间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上.因此，两向量平行，又称两向量共线类似还有向量共面的概念.设有k（k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在一个平面上，就称这k个向量共面二、向量的线性运算1.向量的加减法向量的加法运算规定如下：设有两个向量a与b，任取一点A，作AB=a，再以B为起点，作BC=b,连接AC（图8-3），那么向量AC=c称为向量a与b的和，记作a+b，即a+bc=a+b.上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三a角形法则.图8-3力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，我们也有向量相加的平行四边形法则.这就是：当向量a与b不平行时，作AB=a，AD=b，以AB、AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC（图8-4），显然向量AC即等于向量a与b的和a+b向量的加法符合下列运算规律：.2

第一节向量及其线性运算（1）交换律ta+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+e)（2）结合律这是因为，按向量加法的规定（三角形法则），从图8-4可见：a+b=AB+BC=AC=C,b+a=AD+DC-AC=C所以符合交换律.又如图8-5所示，先作a+b再加上c，即得和（a+b）+c，若以a与b+c相加则得同一结果.所以符合结合律Da+b+ca+baB图8-4图8-5由于向量的加法符合交换律与结合律，故n个向量ai，a2，，a（n≥3）相加可写成a+a?+...+a.并按向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如下：以前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量a，a2，…，a,，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和.如图8-6,有as=a,+a,+a,+a.+a,图8-6设a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记作-a.由此，我们规定两个向量b与a的差b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量b上，便得b与a的差b-a（图8-7（a）），BOaa(a)(b)图8-73