《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何_0803平面及其方程

第八章向量代数与空间解析几何第三节平面及其方程曲面方程与空间曲线方程的概念平面的点法式方程三、，平面的一般方程四、平面的截距式方程五、雨两平面的夹角08

第八章 向量代数与空间解析几何 第三节 平面及其方程 一、曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程 四、平面的截距式方程 五、两平面的夹角

曲面方程与空间曲线方程的概念1、曲面方程的概念定义1 如果曲面S与三元方程F(x,J,z)=0有下述关系：曲面S上任一点的坐标都满足方程：(1)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程：(2)那么，方程F(x,J,z)=就叫做曲面 S的方程，而曲面 S就叫做方程的图形008个个个高等数学教学部

高等数学教学部 2

62、曲线方程的概念空间曲线可看作空间两曲面的交线．设F(x,y,z)= 0,G(x,y,z)=0分别是这两曲面的方程，它们的交线C应同时满足这两个方程，即[F(x, y,z) =0(1)[G(x, J,z) = 0反过来，不在曲线C上的点，不可能同时在这两个曲面上，它的坐标不会满足方程(1)[F(x,y,z) = 0定义2如果曲线C与三元方程组有下述关系：[G(x,y,z) = 0曲线C上任一点的坐标都满足方程组：(1)(2）不在曲线C上的点的坐标都不满足方程组，F(x,y,z)= 0那么，方程组就叫做曲线C的方程，而曲线C就叫做方G(x,y,z) = 0程组的图形0008个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 3 . (1) ( , , ) 0 ( , , ) 0      G x y z F x y z

?二、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量个平面的法向量有无穷多个，且垂直于平面内的任一向量已知n=(A, B,C),M,(xo, yo,zo),求平面方程设平面上的任一点为M(x,y,z),M.MIn=M.M.n=0MM =(x-xo,y-o,z- zo)(2):. A(x -xo)+ B(y- yo)+ C(z- z)= 0上式为平面的点法式方程，n=（A,B,C)为法向量由上可知，平面上的点的坐标都满足方程；如果M(x,J,z)不在平面上，则M,M与n不垂直,即M,M·n±0，即M(x,y,z)不满足方程.因而，方程(2)就是所求的平面方程001018个不个高数学教学部不不不

高等数学教学部 4 n  (A, B, C),  ( , , ), 0 0 0 0 M x y z M M n  0   M 0 M  n  0  ( , , ) 0 0 0 0  M M  x  x y  y z  z ( ) ( ) ( ) 0 (2)  A x  x0  B y  y0  C z  z0 

三、平面的一般方程由平面的点法式方程 A(x-x)+B(y-yo)+C(z-z)=0-= Ax + By +Cz-(Ax, + By. + Cz)D(3)Ax + By + Cz + D = 0法向量n =(A, B,C).下证方程Ax+By+Cz+D=0一定表示平面：取平面上一点M(xo,Jo,zo),则 Ax+ By+Cz.+ D=0= A(x-x.)+ B(y- yo)+C(z- zo) = 0因而，方程(3)称为平面的一般方程，n=(A,B,C)为法向量。Y001018个不不高等数学教学部不不

高等数学教学部 5 A(x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0  Ax  By  Cz  (Ax0  By0  Cz0 )  0 D Ax  By  Cz  D  0 (3) n  (A,B,C).  Ax0  By0  Cz0  D  0  A(x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0

说明平面通过坐标原点；(1) D = 0, Ax + By + Cz = 0,(2) A = 0, By +Cz + D = 0, : n = (0,B,C) I (1,0,0),D±0,By+Cz+D=0,平面平行于x轴：D =0,Bv+Cz =0,平面过x 轴;(3) A = B = 0,Cz + D = 0,: n= (0,0,C) 1 (1,0,0),n=(0,0,C) (0,1,0),D±0,Cz+D=0,平面平行于xy面；D=0,z=0,平面与 xy面重合其他情形类推o08个不不高等教学教学部不不

高等数学教学部 6 (1) D  0, Ax  By  Cz  0, (2) A  0,By  Cz  D  0, n  (0,B,C)  (1,0,0),   (3) A  B  0,Cz  D  0, n  (0,0,C)  (1,0,0),n  (0,0,C)  (0,1,0),   

S例 1 求过三点 A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和C(0,2,3)的平面方程解AC = (-2, 3,-1)AB = (-3, 4,-6)C取 n = AB × AC = (14 , 9,-1),14(x - 2) + 9(y +1) - (z - 4) = 0, 14x + 9y - z -15 = 0解二设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0.因平面过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和C(0,2,3)，得[A= -14C2A-B+4C+D=0-A+3B-2C+D=0 =3 B=-9C.:. 14x + 9 y - z - 15 = 02B+3C+D=0D =15C001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7 AB  (  3 , 4 , 6 ) AC  (  2 , 3 , 1 ) 取 n  AB  AC   (14 , 9 , 1 ), 14(x  2)  9( y  1)  (z  4)  0, 14x  9 y  z  15  0. Ax  By  Cz  D  0,                  2 3 0 3 2 0 2 4 0 B C D A B C D A B C D            D C B C A C 15 9 14 14x  9 y  z  15  0

例2求过点(1,1,1)，且垂直于平面x-y+z=7和3x+2v-12z+5=0的平面方程n, =(1,-1,1), n, = (3,2,-12), n= n, ×n, =(10,15,5),解所求平面方程为 10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0,2x +3v+z-6= 0008个不不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 8 (1, 1,1), n1    (3,2, 12), n2    n n1 n2       (10,15,5), 10(x  1)  15( y  1)  5(z  1)  0, 2x  3 y  z  6  0

例3求通过 x 轴和点(2,4,1)的平面方程解一 因平面过x轴，可设平面方程为By+ Cz=0,又平面过点(2,4,1)，4B+C = 0, C = -4B,By-4Bz = 0, y-4z = 0.解二 因平面过x轴，则过(0,0,0)且法向量n垂直于向量(1,0,0),ijk= (0,1,-4),又n垂直于向量(2,4,1)， :. n=(2,4,1)×(1,0,0) =2 4 00所求平面为y-4z=0001018中个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 9 4B  C  0, C  4B, By  4Bz  0, y  4z  0. n  (2,4,1)(1,0,0)  1 0 0 2 4 1 i j k      (0,1,4)

四、平面的截距式方程例 4 设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)Q(0,b,0)、R(0,0,c)其中a≠0，b≠0，c±0），求此平面方程解设平面方程为 Ax +By+Cz +D=0,aA+ D = 0,将三点坐标代入得bB + D = 0,cC+D=0,DDxDyDDz+D=0A:BbaC 1，称为截距式方程，a,b,c称为该平面的截距00810个不个高数学教学部不不个

高等数学教学部 10 Ax  By  Cz  D  0,            0, 0, 0, cC D bB D aA D  , a D A   , b D B   c D C        D  0 c Dz b Dy a Dx     1, c z b y a x