《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章 多元函数微分学_0903全微分

多元函数微分法及其应用第九章第三节全微分全微分的定义0

第九章 多元函数微分法及其应用 第三节 全微分

福一、 全微分的定义1、全微分的定义引言设函数y=f(x)在某区间内有定义，x及x+△x在这区间内.如果△y=f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x)，其中 A 与△r无关，那么称函数y= f(x)在x可微，而 A·△x称为y=f(x)在x相应于△r的微分，记作dy = A·△r, 当f'(x)存在时， 有 A= f'(x),dy = f'(x)dxAy = f(x + Ar) - f(x) ~ f'(x)Ar.如果函数z= f(x,y)在点(x,y)可微分，那么这函数在该点必连续函数y=f(x)在点x,可微的充分必要条件是函数y=f(x)在点x,可导dy = f(x)·dxAy ~ dy = f'(x)dx00l08个不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 2 y  f (x  x)  f (x)  f (x)x. dy  f (x) dx y  dy  f (x)dx

福对 于 二 元 函 数 z=f(x,j) ， △z=f(x+△x,y)-f(x,y) 和△,z=f(x,y+Ay)- f(x,y)分别称为二元函数对变量x与y的偏增量固定自变量 y，若△,z= f(x+△x,y)- f(x,y)=A△r+o(△x)， 当f(x,y)存在时,则有A=f (x,y)，f (x,y)Ax称为二元函数z=f(x,y)关于变量x 的偏微分，记d,z= f(x,J)Ar.A,z= f(x+Ax,y)- f(x,y) ~ f,(x,y)Ar,固定自变量 x，若△,z=f(x,y+Ay)-f(x,y)=BAy+o(Ay)，当f,(x,y)存在时,则有B=f,(x,y),f,(x,)Ay称为二元函数z=f(x,y)关于变量y的偏微分，记d,z=f,(x,y)AyA,z = f(x,y+Ay)- f(x,y) ~ f,(x,y)Ay0008福个个个高数学教学部不不不

高等数学教学部 3 z f (x x, y) f (x, y) f (x, y) x, x      x  z f (x, y y) f (x, y) f (x, y) y. y      y 

定义讠设函数z= f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x,y)的全增量△z=f(x+△x,y+△y) f(x,y)可表示为△z = AAr+ B Ay +o(p), p = (Ax)" +(Ay),其中 A、B 不依赖于 △x、△y，仅与x、有关，则称函数f(x,y）在点(x)可微分，而A△xr+ B△y称为函数 z=f(xy)在(xy)的全微分，记作 dz，即dz = AAxr + BAy.若函数在区域D内各点都可微分，则称此函数在D内可微分001018个不不高教学教学部不不不

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C2、判定定理如果函数z= f(x,y)在点(x,y)可微分，那么这函数在该点必连续lim△z证由微分定义知(4r,A)→(0,0)_lim [(AAx+ B△y)+o(p) =0, (其中p = /(△x)2 +(p))(4x,Ay)-→(0,0)即函数z=f(x,J)在该点连续定理 1 （(必要条件)若函数z= f(x,y)在点(x,J)可微分，则该函数在Oz. z、z必存在，且有dz=az.该点偏导数AyAx+axaxayay△z= A△x+ BAy+o(p ), 令Ay= 0, △,z = AAx+o(Ax),证azAzaz= lim[4+ 0( Ax D,= A, =B,同理limaxayAxAxAr-→>0Ar-→>0Ozaz:. dzAx+Ayoyaxazazdydx+说明Ax = dx,Ay = dy = dz:axay0008个不不高数学教学部不不不

高等数学教学部 5 z x y  ( , ) (0,0) lim  lim [( ) ( )] ( , ) (0,0) A x B y o  x y          0, z  Ax  By  o(  ), 令y  0, z A x o( x ), x     x z    x zx x    0 lim    A, B, y z    y. y z x x z dz          d y. y z d x x z dz       ] (| |) lim[ 0 x o x A x      

C说明定理1的逆定理不成立，即偏导数存在函数不一定可微分xyx2+y2*0例如函数f(x,J)=} /x2 +y0x2 +y2 = 00-0f(0 + △x,0) - f(0,0)f.(0,0) = lim=lim= 0,AxAxAr→0Ar-→00-0f(0 + Ay,0) - f(0,0)f,(0,0) = lim : lim= 0.AyAyAy-0Ay-→0:. △z-[f (0, 0)Ax + f,(0, 0)Ayl = f(0+△x, 0+△y) - f(0, 0)AxAyAxAyAxAy而0.p(Ax)* +(Ay)(Ax) +(Ay)?V(Ax)? +(Ay):. △z -[f,(0, 0)△x + f,(0, 0)Ayl ±o(p),因此，函数z= f(x,J)在点(0,0)不可微00108中个不不高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 6 , 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2            x y x y x y xy f x y z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]   x   y  , ( ) ( ) 2 2 x y x y       /  ( ) ( ) 2 2 x y x y      2 2 ( x) ( y) x y       0,  z [ f x ( 0, 0)x  f y ( 0, 0)y]  o( ), (0,0) x f x f x f x    (0 ,0) (0,0) lim 0     x x 0 0 lim 0     0, (0,0) y f  0. y f y f y    (0 ,0) (0,0) lim 0     y y 0 0 lim 0     f ( 0  x, 0  y )  f ( 0, 0)

azZ连定理 2(必要条件)若函数z= f(x,y)在点(x,J)的偏导数axay续，则函数在该点可微分证 △z= f(x+Ax, y+Ay)-f(x,y)=[f(x+Ax, y+Ay)- f(x, y+Ay)l+[f(x, y+Ay)- f(x, y))= f(x+0,Ax, y+Ay)Ax + f,(x,y+,Ay)Ay (0<0, ,0, <1)=[f,(x, y)+α]Ax +[f,(x, y)+β]Ay, ( limα =0,limβ= 0),Ar,Ay)(0,0)(4x,Ay)-→(0,0)= fr(x, y)Ax + f,(x, y)Ay+ α△x+ βAy,αAx+ βAy ≤lα/+/β1 →0 (Ar,Ay) →(0,0),p: △z= fr(x,y)Ax+ f,(x, y)Ay+o(p), 因而z = f(x,y)在点(x,j)可微0008个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7 z  f (x  x, y  y)  f (x, y)  [ f (x  x, y  y)  f (x, y  y)]  [ f (x, y  y)  f (x, y)] f x y y y  f x (x 1x, y  y)x  y ( ,  2 ) (0 , 1 )  1  2   [ f x (x, y) ]x [ f (x, y) ] y,  y    ( lim 0, lim 0), ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)       x y x y f (x, y) x f (x, y) y x y,  x   y            x  y  z f (x, y) x f (x, y) y o(),   x   y    0 ( (x,y)  (0,0) )

zaz.dx +说明dy，二元函数函数z=f(x,v)的全微分常记为dzaxay的全微分等于它的两个偏微分之和，称之为一元函数的全微分符合叠加原理.以上关于二元函数的全微分的定义及定理可以推广到三元及三元以上的函数例如，若三元函数u=f(x,y,z)可微分，则QuQuudxdydzdu=++ayOzaxd,ududu连续可微一阶偏导数存在001018个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 8 du  dxu dy y u    dz. z u   dx  x u   d yu dzu

例 1 i计算函数z=e在点(2,1)处的全微分azazOzazer= 2e?yetyxety=解Oy/x=?0x x=2ayaxy=1J=1:. dz = ye*' dx + xe*' dy,dz x=2 = e' dx + 2e'dyJ=l例 2 计算函数u=x+sin兰+e"的全微分.2解 du= dx+ (cos+ze")dy +ye"dz.2oo8个个个高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 9    x z , 2 , 2 1 2 2 1 2 e y z e x z y x y x           2 . 2 2 1 dz 2 e dx e dy y x        y z , x y ye , x y xe dz  ye dx x y xe dy, x y  du dx  z e dy y yz ) 2 (cos  y e dz. yz 

习题1、若函数z= f(x,y)在点(x,y)处，则函数z=f(x,V)在点(x,y)可微(B)连续(A）极限存在(C）一阶偏导数存在(D)一阶偏导数连续2、若函数z=arctan2，求dz.x810个个个高等数学教学部不不个

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