《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 级数_1203幂级数

第十二章无穷级数第三节幂级数函数项级数的概念幂级数及其收敛性幂级数的运算08

第十二章 无穷级数 第三节 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

?一、函数项级数的概念设 u,(x),u,(x),.…,u,(x),.…. 是定义在I R 上的函数，则Zu,(x)=u(x)+u,(x)+.+u,(x)+称为定义在区间I上的函数项无n=穷级数，简称函数项级数00如果x e I,数项级数u,(x)收敛，则称x,为级数u,(x)的收敛1n=1n=180点，否则称为发散点．函数项级数u,(x)的所有收敛点的全体称为收敛n=1域，所有发散点的全体称为发散域001018个不个高数学教学部不不不

高等数学教学部 2

?u,(x)成为一收敛的常数项级数，有一对于收敛域中的每一个x，n=1确定的和 S;在整个收敛域上，函数项级数的和是关于 x的函数，记作S(x)，称为函数项级数的和函数u,(x)的收敛域，在收敛域内有和函数的定义域就是函数项级数n=1S(x)-Zu,(x).n=1函数项级数的部分和为S(x)，在收敛域I内，lim S,(x)= S(x);函数项级数的余项为r,(x)= S(x)-S,(x)，且在收敛域 I 内有lim r,(x) = 0.H-008个个个高等数学教学部

高等数学教学部 3 ( ) ( ). 1 S x u x n  n   

新求级数≥(-1"例 1 )"的收敛域n+xn=1unti(x)n(n → 0),解由比值判别法知n+1 1+xu,(x)1+x当(1) 1+x>1，当x>0或x<-2时，原级数绝对收敛11+x(2) 当1+x<1，当-2<x<0时，原级数发散1.1+x当(3)店:1.1+x =1, x =0或x =-2,1+ x-(-1)"当×——2时，级数变为21发散；当×=0时，级数变为2(收敛，nn=inn=1级数的收敛域为(-80,-2)U[0,+8),001018个不不高教学教学部不不不

高等数学教学部 4 ( ) ( ) 1 u x u x n n n x n     1 1 1 ( ), 1 1     n x 1, 1 1 (1)   x 当 1 x  1, 1, 1 1 (2)   x 当 1 x  1, 1, 1 1 (3)   x 当 1 x  1, (,2)[0,)

二、幂级数及其收敛性Za.(x-x,)"-a, +a(x-x)+a,(x-x,)+a,(x-x,)*+,n=0称为关于(x-x,)的幂级数2.若x，=0，有a,x" =a, +ax+a,x'+...+a,x" +..n=01、幂级数的收敛域800对于幂级数Ea,x"a,x"，给x以确定的值（比如x=x,),则幂级数n=0n=000a,x，若这个常数项级数收敛，则称x,为幂级数的收为一常数项级数n=000敛点，否则称为发散点。幂级数a,x"的所有收敛点的全体称为收敛域，n=0所有发散点的全体称为发散域0008个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 5 2 0 1 0 2 0 0 0 a (x x ) a a (x x ) a (x x ) n n  n         ( ) ,  an x  x0 n  2 0 1 2 0 a x a a x a x n n  n       . n an x

?Za,x"成为一收敛的常数项级数，有一确对于收敛域中的每一个x，1n=1定的和 S；在整个收敛域上，幂级数的和是关于x的函数，记作S(x)，称为幂级数的和函数a0和函数的定义域就是幂级数u，（x)的收敛域，在整个收敛域内有n=1S(x)-Ea,x".n=1E'=1+x++'+..说明例如幂级数n=(当x<1时收敛，当x≥1时发散，收敛域为(-1,1)Ex"-1+x+x' +.(-1<x<1)n=0008不不不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 6 ( ) . 1 n n S x an x    1 , 2 0        x x x n n (1,1), ( 1 1). 1 1 1 2 0             x x x x x n n 

C2、幂级数的收敛定理（1）如果级数女Ea,x"在x=xo(x ± 0)处收敛,定理 1 (Abel 定理)n=0则它在满足不等式xx，的一n=0切x处发散证(1) 因a,x收敛，:. lima,x"=0, 存在 M>0,使|a,xx，使级数收敛，(2)2由(1)知，级数当x=x,时应收敛，这与假设矛盾，则定理结论成立00108个不高教学教学部不不不

高等数学教学部 7 lim 0,  0   n n n a x n n n n n n x x a x a x 0 0   n n n x x a x 0 0   , 0 n x x  M

o如果幂级数a,x"的所有系数a,0,定理2(Abel 收敛定理)1=0an+1limp,n00100女Ea,x"绝对收敛;（1）若p=0，则对任一x，幂级数n=00时，幂级数Z(2）若0一时，幂级数a,x"发散;Pn=00O（3）若p=+，幂级数a,x"在x0时都发散Ln=08oo8不不不高等数学教学部不不个

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00a,x"应用比值判别法，证 对级数n=0n+1dn+1+=plx,limlimanx"n->00n-00aan+ixn+（1）若p=0，则对任一x，有lim= px = 0,a,xn1-008000级数a,x"收敛，级数a,x"绝对收敛；n=0n=0n+in+1(2）若0一时，lim=px>1, 级数a,x"发散，a,x"n-→00Pn=08因而级数a,x"发散；n=0oo8个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 9 n n n n n a x a x 1 1 lim    x a a n n n 1 lim      x , n n n n n a x a x 1 1 lim      x  0, n n n n n a x a x 1 1 lim      x  1, n n n n n a x a x 1 1 lim      x  1

an+xn+= plx = +80,(3）若p=+oo，Vx±0，limant"n-→0080lim|a,x" +0, lima,x" *0,级数a,x"发散.n00n>00ocn=0说明由以上定理知，当0<p<+oo时，幂级数a,x"在(-内ppn=01)U(,+)内发散；在点x=和x=_绝对收敛；在(一80,一处不确定一pPpP点x=-和x=二是幂级数收敛点和发散点的分界点p，称 R是幂级数的收敛半径,称(-R,R)是幂级数的收敛区间令R=p幂级数的收敛域是下列情形之一：(-R,R),I-R,R),(-R,RI,-R,RI当p=0时，幂级数处处收敛，规定收敛半径R=+8；当p=+oo时，幂级数仅在原点收敛，规定收敛半径R=0000810不不不高等数学教学部不不不

高等数学教学部 10 x  0, n n n n n a x a x 1 1 lim      x  , lim | | 0,  n n n a x lim  0,  n n n a x (R,R), [R,R), (R,R], [R,R]