《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何_0806空间曲线及其方程

第八章向量代数与空间解析几何第六节空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程国三、空间曲线在坐标面上的投影08

第八章 向量代数与空间解析几何 第六节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影

、空间曲线的一般方程1、空间曲线的一般方程[F(x,y,z) =0空间曲线C可看作空间两曲面的交线G(x,y,z)= 0称为空间曲线的一般方程x2 + y2 =1例 1 方程组表示怎样的曲线？2x+3z= 6解　2+y2=1 表示圆柱面2表示平面2x + 3z = 6[x? + y2 =1表示一椭圆2x+3z = 6OL0个个个高数学教学部不不个

高等数学教学部 2      ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 1 2 2 x  y  2x  3z  6        2 3 6 1 2 2 x z x y x z 1 y o C 2

z=a2-x2-y2例 2 方程组[a-+_g表示怎样的曲线?4解 z=a2-x2-y2表示上半球面z1-gy+y-a表示圆柱面z=a2-x?-y?ai2+=交线如图(x-=)xA30008个个个高等数学教学部

高等数学教学部 3 2 2 2 z  a  x  y 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x               4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y y x z a o

二、空间曲线的参数方程x=p(t)空间曲线的参数方程y=y(t)，当给定t=t,时，就得到曲线上的一个点z. = (t)(x,，z），随着参数的变化可得到曲线上的全部点001018个不个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 4

例3如果空间一点M在圆柱面x2+2=a2上以角速度の绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中の、V都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线，试建立其参数方程解取时间t为参数，动点从A 点出发，经过t时间，运动到M点，M在xoy面的投影M'(x,y,0）7螺旋线的参数方程还可以写为x=acosox=atacosy=asiney= a sin ot(z=be= vt之(0 = ot, b= =)0otXAM008不不不高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 5 x  a cos  t y  a sin  t z  vt A MM t x y z o     z b y a x asincos ( , )    v  t b 

性质上升的高度与转过的角度成正比，即0: 0 →0,+α,z: be, →b,+bα,h = 2b元α=2元，上升的高度即为螺距0008不不不高数学教学部不不个

高等数学教学部 6 : ,   0  0  : , z b 0  b 0  b   2  , h  2b

三、空间曲线在坐标平面上的投影[F(x,y,z) = 0空间曲线方程C：消去变量z后得H(x,J）=0，[G(x, y,z)= 0以曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面．而该投影柱面与xOv面的交线叫做曲线C关于xOv面的投影曲线[H(x,J)= 0[z= 0F(x,y,z)= 0空间曲线方程C：消去变量x后得R(y,z)=0，则曲线G(x,y,z) = 0R(y,z)= 0C关于yOz面的投影曲线[x=0001018不不不高尊数学教学部不不不

高等数学教学部 7 . 0 ( , ) 0      z H x y

F(x,y,z)= 0空间曲线方程C消去变量后得T(x,z)=0，则曲线G(x,y,z) = 0[T(x,z) = 0C关于yOz面的投影曲线(y=08o8个个个高等数学教学部不不个

高等数学教学部 8

-x2 + y2+z2 =1例4 求曲线在坐标面上的投影123x'+y?解（1）消去变量z后得=43x?+-4.在xOv面上的投影为(z= 0(2)因为曲线在平面z上，所以在zOx面上的投影为线段2V321x下2y=0/3-2(3）同理曲线在yOz面上的投影为线段2,lyk2(x=00008个个个高等数学教学部不不不

高等数学教学部 9 , 4 2 2 3 x  y , 0 4 2 2 3    zx y ; 23 , | | 021    x yz ; 23 , | | 021    y xz

例5求抛物面2+z2=x与平面 x+2y-z=0的截线在三个坐标面上的投影曲线方程[y?+z? =x解截线方程为[x+2y-z=0[x +5y2 +4xy - x = 0(1)消去z得投影(z=0x2 + 5z2 - 2xz - 4x = 0(2)消去y得投影ly=0[y?+z’+2y-z = 0(3)消去x得投影(x=000810个不个高数学教学部不不个

高等数学教学部 10       2 0 2 2 x y z y z x , 05 2 4 0 2 2      yx z xz x , 05 4 0 2 2      zx y xy x . 0 2 0 2 2      xy z y z