《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何_8.2向量的数量积、向量积

向量的数量积、向量积

向量的数量积、向量积

提出问题：rr?aαphrr?b~^1rrrS=?~牛面2

提出问题： ？ ？

向量的数量积·数量积的定义·数量积的性质·数量积的坐标表示·两向量的夹角

向量的数量积 • 数量积的定义 • 数量积的性质 • 数量积的坐标表示 • 两向量的夹角

设一物体在常力 F 作用下,沿与力夹角为q引例.的直线移动，位移为s，则力F所做的功是多少？urW= FllS cosqM.M2r

沿与力夹角为 的直线移动, 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为s , 则力F 所做的功是多少？

数量积定义设向量的夹角为称记作rr10/ cosgxhrPrir h为r 与r数量积（点积）故b=lalprib(或=6b Priga)力所做的功：W=Fxs

• 数量积定义 设向量 的夹角为￾ , 称 记作 为 与 数量积(点积) . 故 力所做的功：

数量积的性质=cosq()为两个非零向量,则有r rrrb-4bcog-01TATUq-0UqP

• 数量积的性质 为两个非零向量,则有

数量积的运算规律：（1）交换律：abba;（2）分配律：（ab）ab（3）结合律：若1m为数(a) b a (b) (ab),(Ca) (b) (a b)

• 数量积的运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）结合律：若 为数

例1.证明三角形余弦定理ILc2 = α2 +b? - 2abcosqq.umr urull证如图·设TCCR=α C4=h4R=rru则 r_rBul,2m mrr rrrrrrrr1-oacCXCT+-2/ cosqa1al,b=1bl,c=1elα? +b?- 2abcosq

例1. 证明三角形余弦定理 证: 则 如图 .设

数量积的坐标表示设rr.rurrr则=ai+a i+akb=b i+b i+bk.rururrYraxh=(i+ai+akxh i+hi+hk)7rrrurr=ah(i)+ab(ixi)+ah(x)001rrrrruX+ab(ii)+ab(ixi)+ab(ixk)00r1一+ah(ki)+ah(kxi)+ah(kk)001rrah=ab+ah+ah

• 数量积的坐标表示 设 则

两向量的夹角当，为非零向量时，由于=alllcosq，得ab +ab,+a,brraxbcosq=+a+a?yb?+b+b11

当 为非零向量时 ,由于 • 两向量的夹 角 , 得